Advertisements (Quảng cáo)
Bài 12. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = x\sqrt {4 – {x^2}} \) b) \(y = \sqrt {8 – {x^2}} \)
c) \(y = x – \sin 2x + 2\) d) \(y = 3 – 2\cos x – \cos 2x\)
a) Tập xác định: \(D = \left[ { – 2;2} \right]\)
\(y’ = \sqrt {4 – {x^2}} + x.{{ – x} \over {\sqrt {4 – {x^2}} }} = {{4 – {x^2} – {x^2}} \over {\sqrt {4 – {x^2}} }} = {{4 – 2{x^2}} \over {\sqrt {4 – {x^2}} }}\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow 4 – 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \)
\(y\left( { – \sqrt 2 } \right) = – 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = – \sqrt 2 \); giá trị cực tiểu \(y\left( { – \sqrt 2 } \right) = – 2\)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = \sqrt 2 \); giá trị cực đại \(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\)
b) TXĐ: \(D = \left[ { – 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right]\)
\(y’ = {{ – x} \over {\sqrt {8 – {x^2}} }};\,y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), giá trị cực đại \(y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)
c) Áp dụng quy tắc 2.
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(\,y’ = 1 – 2\cos 2x;y’ = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3} \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb {Z}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(y” = 4\sin 2x\)
* Ta có: \(y”\left( {{\pi \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { – {\pi \over 3}} \right) = – 2\sqrt 3 < 0\)
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = – {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực đại
\(y\left( { – {\pi \over 6} + k\pi } \right) = – {\pi \over 6} + k\pi + {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\)
\(y”\left( {{\pi \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( {{\pi \over 3}} \right) = 2\sqrt 3 > 0\).
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực tiểu:
\(y\left( {{\pi \over 6} + k\pi } \right) = {\pi \over 6} + k\pi – {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\)
d) Áp dụng quy tắc 2.
\(\,y’ = 2\sin x + 2\sin 2x = 2\sin x\left( {1 + 2\cos x} \right);\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 0 \hfill \cr
\cos x = – {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr
x = \pm {{2\pi } \over 3} + 2k\pi ,k \in {\mathbb{Z}} \hfill \cr} \right.\)
\(y” = 2\cos x + 4\cos 2x.\)
\(y”\left( {k\pi } \right) = 2\cos k\pi + 4\cos 2k\pi = 2\cos k\pi + 4 > 0\) với mọi \(k \in {\mathbb{Z}}\)
Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm \(x = k\pi \), giá trị cực tiểu:
\(y\left( {k\pi } \right) = 3 – 2\cos k\pi – \cos 2k\pi = 2 – 2\cos k\pi \)
\(y”\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right) = 2\cos {{2\pi } \over 3} + 4\cos {{4\pi } \over 3} = 6\cos {{2\pi } \over 3} = – 3 < 0.\)
Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm \(x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực đại:
\(y\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right) = 3 – 2\cos {{2\pi } \over 3} – \cos {{4\pi } \over 3} = {9 \over 2}\).