Bài 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số sao cho hàm số đạt cực tiểu và đạt cực đại...

Bài 13. Tìm các hệ số $a, b, c, d$ của hàm số:  $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ sao cho hàm số $f$ đạt cực tiểu tại điểm $x = 0,f\left( 0 \right) = 0$ và đạt cực đại tại điểm $x = 1,f\left( 1 \right) = 1.$

Ta có: $f’\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c$

$f$ đạt cực tiểu tại điểm $x=0$ nên $f’\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0$

$f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow d = 0$. Vậy $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2}$

$f$ đạt cực đại tại điểm $x=1$ nên $f’\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 3a + 2b = 0$

$f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow a + b = 1$

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ 3a + 2b = 0 \hfill \cr a + b = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = - 2 \hfill \cr b = 3 \hfill \cr} \right.$

Thử lại với $a=-2, b=3, c=d=0$ ta được:

$f\left( x \right) =  - 2{x^3} + 3{x^2};\,\,\,\,\,\,\,f’\left( x \right) =  - 6{x^2} + 6x;\,\,\,\,\,\,f”\left( x \right) =  - 12x + 6$

$f”\left( 0 \right) = 6 > 0$ : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0$; $f\left( 0 \right) = 0;f”\left( 1 \right) =  - 6 < 0$

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 1;f\left( 1 \right) = 1$

Vậy $a =  - 2;b = 3;c = d = 0$.