Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) \(z^2\) là số thực âm;
b \(z^2\) là là số ảo;
c) \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2}\);
d) \({1 \over {z - i}}\) là số ảo.
Giải
Giả sử \(z=x+yi\)
a) \({z^2} = {\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)
\(z^2\) là số thực âm\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ xy = 0 \hfill \cr {x^2} - {y^2} < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y \ne 0 \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục \(Oy\) trừ điểm \(O\).
b) \({z^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)
\(z^2\) là số ảo \( \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow x = y\) hoặc \(y = -x\)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hai đường phân giác của các gốc tọa độ.
c)
Ta có \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi ={x^2} - {y^2} - 2xyi\Leftrightarrow xy = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr} \right.\)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là các trục tọa độ.
d) \({1 \over {z - i}}\) là số ảo \( \Leftrightarrow z - i\) là số ảo và \(z \ne i \Leftrightarrow z\) là số ảo khác i.
Vậy tập hợp các điểm cầm tìm là trục ảo trừ điểm \(I(0; 1)\) biểu diễn số \(i\).