Bài 17
Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:−i;4i;−4;1+4√3i.
Giải
* Giả sử z=x+yi là căn bậc hai của −i, ta có:
(x+yi)2=−i⇔x2−y2+2xyi=−i⇔{x2−y2=0(1)2xy=−1(2)
Từ (2) suy ra y=−12x thế vào (1) ta được:
x2−14x2=0⇔x4=14⇔x=±1√2
+) Với x=1√2ta có y=−12x=−1√2
+) Với x=−1√2ta có y=−12x=1√2
Hệ có hai nghiệm là: (−1√2,1√2),(1√2,−1√2)
Vậy –i có hai căn bậc hai là: {z_1} = - {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i,{z_2} = {1 \over {\sqrt 2 }} - {1 \over {\sqrt 2 }}i
* Giả sử z=x+yi là căn bậc hai của 4i, ta có:
{\left( {x + yi} \right)^2} = 4i \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 4i \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr xy = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.
Advertisements (Quảng cáo)
Thay y = {2 \over x} vào phương trình thứ nhất ta được:
{x^2} - {4 \over {{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = 4 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2
+) Với x = \sqrt 2 ta có y = {2 \over x} = \sqrt 2 ;
+) Với x = - \sqrt 2 ta có y = - \sqrt 2
Hệ có hai nghiệm \left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right),\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)
Vậy 4i có hai căn bậc hai là:{z_1} = \sqrt 2 + \sqrt 2 i; {z_2} = - \sqrt 2 - \sqrt 2 i
* Ta có - 4 = 4{i^2} = {\left( {2i} \right)^2} do đó -4 có hai căn bậc hai là \pm 2i
* Giả sử z=x+yi là căn bậc hai của 1 + 4\sqrt 3 i.
{\left( {x + yi} \right)^2} = 1 + 4\sqrt 3 i
\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 1 \hfill \cr \,2xy = 4\sqrt 3 \, \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr {x^2} - {{12} \over {{x^2}}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr {x^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = \sqrt 3 \hfill \cr} \right.hoặc \left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = - \sqrt 3 \hfill \cr} \right.
Hệ có hai nghiệm \left( {2;\sqrt 3 } \right),\left( { - 2; - \sqrt 3 } \right)
Vậy 1 + 4\sqrt 3 i có hai căn bậc hai là:{z_1} = 2 + \sqrt 3 i,{z_2} = - 2 - \sqrt 3 i