Bài 41 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm nguyên hàm của các hàm số sau...

Bài 41

a) $y = 2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right);$          b) $y = 8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};$
c) $y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right);$      d) $y = {{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}};$

a) $\int {2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right)} dx = \int {\left( {2x - 2{x^{ - 2}}} \right)dx = {x^2} + {2 \over x} + C}$

b) $\int {\left( {8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right)dx = } \int {\left( {8x - 2{x^{ - {1 \over 4}}}} \right)} dx = 4{x^2} - {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C$

c) Đặt 

$\eqalign{ & u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx \Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du \cr & \int {{x^{{1 \over 2}}}\sin\left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right)dx = {2 \over 3}\int {\sin udu = - {2 \over 3}\cos u + C = - {2 \over 3}\cos \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right)} + C} \cr}$

d) Đặt $u = \cos \left( {2x + 1} \right) \Rightarrow du =  - 2\sin \left( {2x + 1} \right)dx \Rightarrow \sin \left( {2x + 1} \right)dx =  - {1 \over 2}du$

Do đó $\int {{{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}} dx =  - {1 \over 2}\int {{{du} \over {{u^2}}} = {1 \over {2u}} + C = {1 \over {2\cos \left( {2x + 1} \right)}}}  + C$