Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao Bài 50 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng...

Bài 50 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tính các tích phân sau:...

Tính các tích phân sau. Bài 50 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao – Ôn tập chương III – Nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 50. Tính các tích phân sau: 

\(a)\,\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\sin 2xdx;} \)           \(b)\,\int\limits_1^2 {x\left( {2{x^2} + 1} \right)} dx;\)

\(c)\,\int\limits_2^3 {\left( {x – 1} \right)} {e^{{x^2} – 2x}}dx.\)

a) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = \sin 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = – {1 \over 2}\cos 2x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\sin 2xdx}  = \left. { – {1 \over 2}{x^2}\cos 2x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} + \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\cos 2xdx} \)
\( = {{{\pi ^2}} \over 8} + \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos 2xdx\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)} \)
Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos 2xdx\, = \left. {{1 \over 2}x\sin 2x} \right|_0^{{\pi  \over 2}}}  – {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\sin 2xdx}  = \left. {{1 \over 4}\cos 2x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} =  – {1 \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thay (2) vào (1) ta được: \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\sin 2xdx = {{{\pi ^2}} \over 8}}  – {1 \over 2}.\)

Advertisements (Quảng cáo)

b) Đặt \(u = 2{x^2} + 1 \Rightarrow du = 4xdx \Rightarrow xdx = {{du} \over 4}\)

\(\int\limits_1^2 {x\left( {2{x^2} + 1} \right)dx = {1 \over 4}} \int\limits_3^9 {udu}  = \left. {{1 \over 8}{u^2}} \right|_3^9 = 9\)

c) Đặt \(u = {x^2} – 2x \Rightarrow du = 2\left( {x – 1} \right)dx \Rightarrow \left( {x – 1} \right)dx = {{du} \over 2}\)

\(\int\limits_2^3 {\left( {x – 1} \right)} {e^{{x^2} – 2x}}dx = {1 \over 2}\int\limits_0^3 {{e^u}du = } \left. {{1 \over 2}{e^u}} \right|_0^3 = {1 \over 2}\left( {{e^3} – 1} \right).\)