Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ) Bài 50 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng...

Bài 50 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tính các tích phân sau:...

Tính các tích phân sau. Bài 50 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao - Ôn tập chương III - Nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Bài 50. Tính các tích phân sau: 

\(a)\,\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\sin 2xdx;} \)           \(b)\,\int\limits_1^2 {x\left( {2{x^2} + 1} \right)} dx;\)

\(c)\,\int\limits_2^3 {\left( {x - 1} \right)} {e^{{x^2} - 2x}}dx.\)

a) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = \sin 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = - {1 \over 2}\cos 2x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\sin 2xdx}  = \left. { - {1 \over 2}{x^2}\cos 2x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} + \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\cos 2xdx} \)
\( = {{{\pi ^2}} \over 8} + \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos 2xdx\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)} \)
Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.\)

Advertisements (Quảng cáo)

Do đó \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos 2xdx\, = \left. {{1 \over 2}x\sin 2x} \right|_0^{{\pi  \over 2}}}  - {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\sin 2xdx}  = \left. {{1 \over 4}\cos 2x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} =  - {1 \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thay (2) vào (1) ta được: \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\sin 2xdx = {{{\pi ^2}} \over 8}}  - {1 \over 2}.\)

b) Đặt \(u = 2{x^2} + 1 \Rightarrow du = 4xdx \Rightarrow xdx = {{du} \over 4}\)

\(\int\limits_1^2 {x\left( {2{x^2} + 1} \right)dx = {1 \over 4}} \int\limits_3^9 {udu}  = \left. {{1 \over 8}{u^2}} \right|_3^9 = 9\)

c) Đặt \(u = {x^2} - 2x \Rightarrow du = 2\left( {x - 1} \right)dx \Rightarrow \left( {x - 1} \right)dx = {{du} \over 2}\)

\(\int\limits_2^3 {\left( {x - 1} \right)} {e^{{x^2} - 2x}}dx = {1 \over 2}\int\limits_0^3 {{e^u}du = } \left. {{1 \over 2}{e^u}} \right|_0^3 = {1 \over 2}\left( {{e^3} - 1} \right).\)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: