Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao Bài 51 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng...

Bài 51 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:...

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi. Bài 51 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao – Ôn tập chương III – Nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 51.Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị các hàm số \(y = 4 – {x^2},y =  – x + 2;\)
b) Các đường cong có phương trình \(x = 4 – 4{y^2}\) và \(x = 1 – {y^4}\) trong miền \(x\ge0\).

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\(4 – {x^2} = – x + 2 \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Do đó 

\(\eqalign{
& S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {4 – {x^2} – \left( { – x + 2} \right)} \right|} dx = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| { – {x^2} + x + 2} \right|} dx \cr
& \,\,\, = \int\limits_{ – 1}^2 {\left( { – {x^2} + x + 2} \right)} dx = \left. {\left( { – {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} + 2x} \right)} \right|_{ – 1}^2 = {9 \over 2} \cr} \)

b) Phương trình tung độ giao điểm của hai đồ thị là

\(4 – 4{y^2} = 1 – {y^4} \Leftrightarrow {y^4} – 4{y^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{y^2} = 1 \hfill \cr
{y^2} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = \pm 1 \hfill \cr
y = \pm \sqrt 3\; (\text{ loại vì } x<0)\hfill \cr} \right.\)

Diện tích giới hạn hai đồ thị ở phần \(x \ge 0\) là:

\(\eqalign{
& S = \int\limits_{ – 1}^1 {\left[ {4 – 4{y^2} – \left( {1 – {y^4}} \right)} \right]} dy \cr
& \,\,\, = \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {{y^4} – 4{y^2} + 3} \right)} dy \cr
& \,\, = \left. {\left( {{{{y^5}} \over 5} – {4 \over 3}{y^3} + 3y} \right)} \right|_{ – 1}^1 = 2.{{28} \over {15}} = {{56} \over {15}} \cr} \)