Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ) Bài 52 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng...

Bài 52 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:...

Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi. Bài 52 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao - Ôn tập chương III - Nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Bài 52. Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:

a) Parabol \(y = {x^2} - 2x + 2,\) tiếp tuyến của nó tại điểm \(M(3;5)\) và trục tung;
b) Parabol \(y =  - {x^2} + 4x - 3\) và các tiếp tuyến của nó tại các điểm \(A(0;-3)\) và \(B(3;0)\)

a)

Ta có \(y’ = 2x - 2 \Rightarrow y’\left( 3 \right) = 4.\)
Phương trình tiếp tuyến với parabol tại M(3;5) là:
\(y - 5 = 4\left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow y = 4x - 7\)
Gọi S là diện tích cần tìm, ta có :

\(\eqalign{
& S = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 2x + 2 - 4x + 7} \right)} dx \cr
& \,\,\, = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)} dx = \int\limits_0^3 {{{\left( {x - 3} \right)}^2}dx} \cr
& \,\,\, = \left. {{1 \over 3}{{\left( {x - 3} \right)}^3}} \right|_0^3 = 9. \cr} \)

Advertisements (Quảng cáo)

b)

Ta có \(y’ =  - 2x + 4 \Rightarrow y’\left( 0 \right) = 4;y’\left( 3 \right) =  - 2\)
Phương trình tiếp tuyến tại \(A(0;3)\) là :
\(y + 3 = 4\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y = 4x - 3\)
Phương trình tiếp tuyến tại \(B(3;0)\) là :
\(y =  - 2\left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow y =  - 2x + 6\)
Giao điểm của hai tiếp tuyến là \(C\left( {{3 \over 2};3} \right).\) kí hiệu \({A_1}\) và \({A_2}\) là tam giác cong \(ACD\) Và \(BCD\). Ta có :

\(S\left( {{A_1}} \right) = \int\limits_0^{{3 \over 2}} {\left( {4x - 3 + {x^2} - 4x + 3} \right)} dx = \int\limits_0^{{3 \over 2}} {{x^2}dx = \left. {{{{x^3}} \over 3}} \right|_0^{{3 \over 2}}}  = {9 \over 8}\)

\(S\left( {{A_2}} \right) = \int\limits_{{3 \over 2}}^3 {\left( { - 2x + 6 + {x^2} - 4x + 3} \right)} dx = \int\limits_{{3 \over 2}}^3 {{{\left( {x - 3} \right)}^2}dx = } \left. {{1 \over 3}{{\left( {x - 3} \right)}^3}} \right|_{{3 \over 2}}^3 = {9 \over 8}\)

Vậy \(S = S\left( {{A_1}} \right) + S\left( {{A_2}} \right) = {9 \over 8} + {9 \over 8} = {9 \over 4}\)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: