Bài 60. Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số: \(f\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x\) và \(g\left( x \right) = {{3x} \over {x + 2}}\) tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung tại điểm đó.
Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
(I)\,\,& \left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}} \hfill \cr
{\left( {{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x} \right)’} = {\left( {{{3x} \over {x + 2}}} \right)’} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}}\,(1) \hfill \cr
x + {3 \over 2} = {6 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\,(2) \hfill \cr} \right. \cr
& (1)\, \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
{{x + 3} \over 2} = {3 \over {x + 2}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
{x^2} + 5x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = – 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
+) \(x=0\) thỏa mãn (2)
+) \(x =-5\) không thỏa mãn (2)
Hệ phương trình (I) có \(1\) nghiệm duy nhất \(x = 0\). Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gôc tọa độ \(O\); \(y’\left( 0 \right) = {3 \over 2}\). Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm gốc là \(y = {3 \over 2}x.\)