Câu 1.64 trang 23 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao: Chứng minh rằng parabol (P) có phương trình...

Chứng minh rằng parabol (P) có phương trình

                $y = {x^2} - 3x - 1$

Tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số

                $y = {{ - {x^2} + 2x - 3} \over {x - 1}}$

Viết phương trình tiếp tuyến tuyến chung của parabol (P) và đường cong (C) tại tiếp điểm của chúng.

Giải

Ta viết hàm số thứ hai dưới dạng

                        $y =  - x + 1 - {2 \over {x - 1}}$

Hoành độ của tiếp điểm (P) và (C) là nghiệm của hệ phương trình

                         $\left\{ \matrix{- x + 1 - {2 \over {x - 1}} = {x^2} - 3x - 1 \hfill \cr - 1 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2x - 3 \hfill \cr}  \right.$

Phương trình thứ hai của hệ tương đương với phương trình

                         $\eqalign{& {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2(x - 1)  \cr &  \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 1 \Leftrightarrow x = 2 \cr}$

x = 2 cũng là nghiệm của phương trình đầu của hệ.

Hệ có nghiệm duy nhât là x = 2.

Do đó hai đường cong (P) và (C) tiếp xúc với nhau tại điểm A(2;-3)

Phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) là y = x – 5