Câu 1.65 trang 23 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao : Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến chung của...

Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến chung của parabol $y = {x^2} - 3x$ đi qua điểm $A\left( {{3 \over 2}; - {5 \over 2}} \right)$ và chúng vuông góc với nhau.

Giải

Phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc k là

              $y = k\left( {x - {3 \over 2}} \right) - {5 \over 2}$    $\left( {{D_k}} \right)$

Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng $\left( {{D_k}} \right)$ là nghiệm của phương trình

            $\eqalign{& {x^2} - 3x = kx - {3 \over 2}k - {5 \over 2}  \cr &  \Leftrightarrow 2{x^2} - 2(k + 3)x + 3k + 5 = 0 \cr}$

Đường thẳng $\left( {{D_k}} \right)$ là tiếp tuyến của parabol khi và chỉ khi phương trình trên có nghiệm kép, tức là

                $\eqalign{& \Delta ‘ = {\left( {k + 3} \right)^2} - 2\left( {3k + 5} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow {k^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow k =  \pm 1 \cr}$

Như vậy có hai tiếp tuyến của parabol đi qua điểm A. Hệ số góc của hai tiếp tuyến đó là ${k_1} = 1$ và ${k_2} =  - 1$. Vì  $k_1.{k_2} =  - 1$ nên hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.