Câu 1.67 trang 23 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao:Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm...

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

      $y = {{{x^2} - 3x + 1} \over x}$

b) Với các giá trị nào của m, đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m, tại hai điểm phân biệt A và B.

c) Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.

Giải

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số đã cho là nghiệm của phương trình

                     ${{{x^2} - 3x + 1} \over x} = m$

                   $\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 = 0$ .            (1)

Đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình  (1) có hai nghiệm phân biệt, tức là

                        ∆ = ${\left( {m + 3} \right)^2} - 4 > 0$

                        $\Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 > 0$

                        $\Leftrightarrow m <  - 5$ hoặc $m >  - 1$ .           (2)

c) Khi đó , tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là

              ${x_M} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {{m + 3} \over 2}$ và ${y_M} = m.$    (3)

Từ đó suy ra

               ${x_M} = {{{y_{_M}} + 3} \over 2}$ hay ${y_M} = 2{x_M} - 3.$

Vậy điểm M nằm trên đường thẳng $y = 2x - 3.$

Từ (3) suy ra $m = 2{x_M} - 3.$

Từ (2) ,ta có

                     $\left[ \matrix{2{x_M} - 3 < 5 \hfill \cr 2{x_M} - 3 > 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{{x_M} <  - 1 \hfill \cr {x_M} > 1. \hfill \cr}  \right.$

Vậy tập  hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m lấy giá trị trong tập hợp $\left( { - \infty ; - 5} \right) \cup ( - 1; + \infty )$ là phần của đường thẳng

 $y = 2x - 3$ ứng với $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup (  1; + \infty )$

Đó là hai nửa đường thẳng.