Bài 1 trang 89 sgk giải tích 12: Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit...

Bài 1. Giải các bất phương trình mũ:

a) $2^{-x^{2}+3x}< 4$;

b) $\left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x} ≥ \frac{9}{7}$;

c) ${3^{x + 2}} +{3^{x - 1}} \le 28$;

d) ${4^x}-{\rm{ }}{3.2^x} + {\rm{ }}2{\rm{ }} > {\rm{ }}0$.

a) $2^{-x^{2}+3x} < 4 ⇔ 2^{-x^{2}+3x} < 2^2⇔ - {x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} < {\rm{ }}2$

$⇔{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} > {\rm{ }}0 ⇔ x > 2$ hoặc $x < 1$.

b) $\left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x} ≥$ $\frac{9}{7}$ $⇔ \left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x}  ≥  (\frac{7}{9})^{-1}$ 

$⇔ 2{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} \le {\rm{ }} - 1 \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} \le {\rm{ }}0$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}x \in {\rm{ }}\left[ {1;2} \right]$.

 c)  ${3^{x + 2}} + {\rm{ }}{3^{x - 1}} \le {\rm{ }}28 \Leftrightarrow {\rm{ }}{3^{x - 1}}(3^3+1){\rm{ }} \le {\rm{ }}28$

$\Leftrightarrow{3^{x - 1}} \le {\rm{ }}{3^{0}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x - {\rm{ }}1 \le {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x \le {\rm{ }} - 1$.

d) ${4^x}-{\rm{ }}{3.2^x} + {\rm{ }}2{\rm{ }} > {\rm{ }}0$

Đặt $t = 2^x >0$, bất phương trình đã cho trở thành 

${t^2}-{\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} > 0 \Leftrightarrow {\rm{ }}0{\rm{ }} < {\rm{ }}t{\rm{ }} < {\rm{ }}1$ hoặc $t > 2$.

Trở lại biến cũ ta được 

${2^{x}} < {\rm{ }}1 \Leftrightarrow {2^{x}} < {\rm{ }}{2^0} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }}0$

hoặc ${2^{x}} > {\rm{ }}2 \Leftrightarrow {\rm{ }}{2^{x}} > {\rm{ }}{2^1} \Leftrightarrow {\rm{ }}x > {\rm{ }}1$.