Bài 4 trang 44 sách sgk giải tích 12: Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...

Bài 4. Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) ${x^3}-3{x^2} + 5 = 0$;      

b) $- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0$ ;      

c) $2{x^2}-{x^4} =  - 1$.

a) Xét hàm số $y ={x^3}-3{x^2} + 5$ .

Tập xác định : $\mathbb R$.

* Sự biến thiên:

$y'{\rm{ }} = 3{x^{2}} - {\rm{ }}6x{\rm{ }} = {\rm{ }}3x\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right)$; $y’ = 0 ⇔ x = 0,x = 2$.

- Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$; nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.

- Cực trị: 

     Hàm số đạt cực đạt tại $x=0$; $y_{CĐ}=5$

     Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$; $y_{CT}=1$

- Giới hạn:   

$\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr}$

Bảng biến thiên:

* Đồ thị 

Đồ thị giao $Oy$ tại điểm $(0;5)$

Số nghiệm của phương trình chính là giao của đồ thị hàm số $y ={x^3}-3{x^2} + 5$ và trục hoành. Do đó từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Xét hàm số $y =- 2{x^3} + 3{x^2}$.

Tập xác định : $\mathbb R$.

Sự biến thiên:

    $y’= - 6{x^{2  + }}6x = -6x(x - 1); y’ = 0 ⇔ x = 0,x = 1$.

- Hàm số đồng biến trên khoảng: $(-\infty;0)$ và $(1;+\infty)$; nghịch biến trên khoảng $(0;1)$.

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đại tại $x=0$; $y_{CĐ}=0$.

    Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$; $y_{CT}=-1$

- Giới hạn: 

$\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr}$

Bảng biến thiên:

* Đồ thị 

Số nghiệm của phương trình là giao điểm của đồ thị hàm số $y =- 2{x^3} + 3{x^2}$ với đường thẳng $y=2$. Từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất.

c) Xét hàm số $y = f(x) =2{x^2}-{x^4}$

Tập xác định : $\mathbb R$.

Sự biến thiên:

$y’ = 4x -4{x^{3}} = 4x(1- {x^2})$; $y’ = 0 ⇔ x = 0,x = ±1$.  

- Hàm số đồng biến trên khoảng: $(-\infty;-1)$ và $(0;1)$, nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty)$.

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đại tại hai điểm $x=-1$ và $x=1$; $y_{CĐ}=1$.

    Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$; $y_{CT}=0$

- Giới hạn:

$\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \infty \cr}$

Bảng biến thiên:

* Đồ thị

Số nghiệm của phương trình là giao của đồ thị hàm số $y = f(x) =2{x^2}-{x^4}$ và đường thẳng $y = -1$, từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.