Bài 1 trang 43 sách sgk giải tích 12: Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) $y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}$ ;             b) $y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x$;

c) $y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}9x$ ;            d) $y{\rm{ }} = {\rm{ }}-2{x^3} + {\rm{ }}5$ ;

Câu a:

Xét hàm số $y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$

Sự biến thiên:

Đạo hàm: $y’ = 3- 3x^2$ .

Ta có: $y’ = 0 ⇔ x = ± 1$ .

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1;1)$, nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right).$

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại $x=1$, giá trị cực đại

$y$_CĐ=$y(1)=4$, đạt cực tiểu tại $x=-1$ và

$y$_CT=$y(-1)=0$.

Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty$

Bảng biến thiên:

Đồ thị cắt trục $Ox$ tại các điểm $(2;0)$ và $(-1;0)$, cắt $Oy$ tại điểm $(0;2)$.

Đồ thị:

Ta có: $y”=6x$; $y”=0 ⇔ x=0$. Với $x=0$ ta có $y=2$. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm $I(0;2)$ làm tâm đối xứng.

Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ $x=-2$ suy ra $y=4$.

Câu b:

Xét hàm số $y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$

Sự biến thiên:

Đạo hàm: $y’ = 3x^2+ 8x + 4$.

$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - 2; - \frac{2}{3}} \right).$

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x=-2$, giá trị cực đại $y$_cđ = $y(-2) = 0$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-\frac{2}{3}$, giá trị cực tiểu $y_{ct}=y\left ( -\frac{2}{3} \right )=-\frac{32}{27}.$

Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;0)$, cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: ${x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0$ hoặc $x=-2$ nên tọa độ các giao điểm là $(0;0)$ và $(-2;0)$.

Đồ thị hàm số:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: $y”=6x+8;$$y”=0\Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}\Rightarrow y=-\frac{16}{27}.$ 

Câu c:

Xét hàm số $\small y = x^3 + x^2+ 9x$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$

Sự biến thiên:

Đạo hàm: $y’ = 3x^2+ 2x + 9 > 0, ∀x$.

Vậy hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị.

Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$.

Bảng biến thiên :

Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại điểm $(0;0)$, cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;0)$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $y”=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔$ $x=-\frac{1}{3}.$ Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: $I\left ( -\frac{1}{3};-\frac{79}{27} \right ).$

Lúc này ta vẫn chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm có hoành độ cách đều hoành độ $x_1$ và $x_2$ sao cho $\left| {{x_1} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right| = \left| {{x_2} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right|$, khi đó hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn các điểm $(-1;-9)$ và $\left ( \frac{1}{2};\frac{39}{8} \right ).$

Câu d:

Xét hàm số $y=-2x^3+5$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$

Sự biến thiên:

Đạo hàm: $y’ = -6x^2≤ 0, ∀x$.

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb R$.

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty$

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Tính đối xứng: $y”=-12x; y”=0 ⇔ x=0$. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn $I(0;5)$ làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;5)$, đồ thị cắt trục $Ox$ tại điểm $\left( {\sqrt[3]{{\frac{5}{2}}};0} \right).$