Lý thuyết mặt cầu: Bài 2. Mặt cầu...

1. Định nghĩa: Tâph hợp các điểm trong không gian cách điểm $O$ cố định một khoảng không đổi $r (r>0)$ được gọi là một mặt cầu tâm $O$ bán kính $r$.

$S(O;r) = \left\{ {M|OM = r} \right\}$

* Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu gọi là dây cung của mặt cầu.

* Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.

* Cho mặt cầu $S(O;r)$ và điểm $A$ trong không gian.

- Nếu $OA = r$ thì điểm $A$ nằm trên mặt cầu

- Nếu $OA < r$ thì điểm $A$ nằm trong mặt cầu.

- Nếu $OA > r$ thì điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu.

2. Tính chất: Nếu điểm $A$ ngoài mặt cầu $S(O; r)$ thì:

- Qua $A$ có vô số tiếp tuyến với mặt càu.

- Độ dài các đoạn thẳng nối $A$ với các tiếp điểm đều bằng nhau.

- Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu $S(O; r)$ tâm $O$ bán kính $r$ và mặt phẳng $(P)$; $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên mặt phẳng $(P)$. Khi đó $h = OH$ là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$. Khi đó $h = OH$ là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$.

- Nếu $h = r$ thì $(P)$ tiếp xúc mặt cầu.

- Nếu $h > r$ thì $(P)$ không có điểm chung với mặt cầu.

- Nếu $h < r$ thì $(P)$ giao mặt cầu $S(O;r)$ theo một đường tròn tâm $H$, bán kính

$r = \sqrt {{r^2} - {h^2}}$ nằm trên mặt phẳng $(P)$.

4. Giao của mặt cầu với đường thẳng.

Cho mặt cầu $S(O;r)$ và đường thẳng $∆$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ lên $∆$, đặt $h = OH$. Thế thì:

- Khi $h = r$ ta có đường thẳng $∆$ tiếp xúc với mặt cầu tại $H$.

- Khi $h < r$: đường thẳng $∆$ cắt mặt cầu tại hai điểm $A, B$ mà độ dài  $AB = 2\sqrt {{r^2} - {h^2}}$

- Khi $h > r$ đường thẳng $∆$ không cắt mặt cầu.
  5. Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu
Mặt cầu bán kính $r$ có diện tích là $S = 4\pi {r^2}$.
Khối cầu bán kính $r$ có thể tích là $V = {4 \over 3}\pi {r^3}$