Bài 5 trang 44 sách sgk giải tích 12: Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...

Bài 5.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số

                                   $y = -x^3+ 3x + 1$.

b) Dựa vào đồ thị $(C)$, biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số $m$.

                                   $x^3- 3x + m = 0$.

 a) Xét hàm số  $y = -x^3+ 3x + 1$.

Tập xác định : $\mathbb R$.

* Sự biến thiên:

$y’ = -3x^2+ 3 = -3(x^2-1)$; $y’ = 0 ⇔ x = -1,x = 1$.

- Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$, nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$.

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đại tại $x=1$; $y_{CĐ}=3$

    Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$; $y_{CT}=-1$

- Giới hạn:

$\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = + \infty \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \infty \cr}$

Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Đồ thị giao $Oy$ tại điểm $I(0;1)$ và nhận $I$ làm tâm đối xứng.

b) $x^3- 3x + m = 0$ $⇔ -x^3+ 3x + 1 = m + 1$ (1). Số nghiệm của (1) chính là  số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) : $y = m + 1$.

Từ đồ thị ta thấy :

       +)  $m + 1 < -1 ⇔ m < -2$: (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.

       +)  $m + 1 = -1 ⇔ m = -2$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.

       +)  $-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2$ : (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) có 3 nghiệm.

       +)  $m + 1 = 3 ⇔ m = 2$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.

       +)   $m + 1 > 3 ⇔ m > 2$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.