Bài tập 10 trang 91 - SGK Hình học 12: Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và B’D’C)...

Bài 10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh bằng $1$. Tính khoảng cách từ đỉnh $A$ đến các mặt phẳng $(A’BD)$ và $(B’D’C)$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ;  0), D(0 ; 1; 0), A'(0 ; 0 ; 1)$

Khi đó

$B'(1 ; 0 ; 1), D'(0 ; 1 ; 1), C(1 ; 1 ; 0)$. Phương trình mặt phẳng $(A’BD)$ có dạng:

 $x + y + z - 1 = 0$.                         (1)

$\overrightarrow{CB’}(0 ; -1 ; 1)$ ; $\overrightarrow{CD’}(-1 ; 0 ; 1)$.

Mặt phẳng $(B’D’C)$ qua điểm $C$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{CB’},\overrightarrow{CD’} \right ] = (-1 ; -1 ; -1 )$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng $(B’D’C)$ có dạng:

$x + y + z - 2 = 0$                          (2)

Ta có $d_{1}(A,(A’BD))=\frac{1}{\sqrt{3}}.$

       $d_{2}(A,(B’D’C))=\frac{2}{\sqrt{3}}.$