Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Bài tập 8 trang 91 – SGK Hình học 12: Tìm tọa...

Bài tập 8 trang 91 – SGK Hình học 12: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α)...

Bài tập 8 – Trang 91 – SGK Hình học 12: Phương trình đường thẳng trong không gian. Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z -1 = 0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α).

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 8. Cho điểm \(M(1 ; 4 ; 2)\) và mặt phẳng \((α): x + y + z -1 = 0\).

a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mặt phẳng \((α)\) ;

b) Tìm tọa độ điểm \(M’\) đối xứng với \(M\) qua mặt phẳng \((α)\).

c) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((α)\).

a) Xét đường thẳng \(d\) qua \(M\) và \(d ⊥ (α)\).

Khi đó \(H\) chính là giao điểm của \(d\) và \((α)\). 

Vectơ \(\overrightarrow{n}(1 ; 1 ; 1)\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\) nên \(\overrightarrow{n}\) là vectơ chỉ phương của \(d\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:    \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=4+t & \\ z=2+t & \end{matrix}\right.\).

Thay tọa độ \(x ; y ; z\) của phương trình trên vào phương trình xác định \((α)\), ta có:

\(3t + 6 = 0 => t = -2 => H(-1 ; 2 ; 0)\).

b) Gọi \(M'(x ; y ; z)\) là điểm đối xứng của \(M\) qua mặt phẳng \((α)\), thì hình chiếu vuông góc \(H\) của \(M\) xuống \((α)\) chính là trung điểm của \(MM’\).

Advertisements (Quảng cáo)

Ta có: 

\(\frac{x+1}{2}=-1 => x = -3\) ;

\(\frac{y+4}{2}=2   => y = 0\) ;

\(\frac{z+2}{2}=0    => z = -2\).

Vậy \(M'(-3 ; 0 ;2)\).

c) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((α)\) 

Cách 1: \(d(M,(\alpha ))=\frac{|1+4+2-1|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\).

Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH:

     \(d(M,(α) )= MH\) = \(\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{3}\).