Bài 8. Cho điểm M(1;4;2) và mặt phẳng (α): x + y + z -1 = 0.
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α) ;
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α).
c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α).
a) Xét đường thẳng d qua M và d ⊥ (α).
Khi đó H chính là giao điểm của d và (α).
Vectơ \overrightarrow{n}(1 ; 1 ; 1) là vectơ pháp tuyến của (α) nên \overrightarrow{n} là vectơ chỉ phương của d.
Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng: \left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=4+t & \\ z=2+t & \end{matrix}\right..
Thay tọa độ x ; y ; z của phương trình trên vào phương trình xác định (α), ta có:
3t + 6 = 0 => t = -2 => H(-1 ; 2 ; 0).
Advertisements (Quảng cáo)
b) Gọi M'(x ; y ; z) là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (α), thì hình chiếu vuông góc H của M xuống (α) chính là trung điểm của MM’.
Ta có:
\frac{x+1}{2}=-1 => x = -3 ;
\frac{y+4}{2}=2 => y = 0 ;
\frac{z+2}{2}=0 => z = -2.
Vậy M'(-3 ; 0 ;2).
c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α)
Cách 1: d(M,(\alpha ))=\frac{|1+4+2-1|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.
Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH:
d(M,(α) )= MH = \sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{3}.