Bài tập 7 trang 91 - SGK Hình học 12: ìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆...

Bài 7. Cho điểm $A(1 ; 0 ; 0)$ và đường thẳng $∆$: $\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.$.

a) Tìm tọa độ điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên đường thẳng $∆$.

b) Tìm tọa độ điểm $A’$ đối xứng với $A$ qua đường thẳng $∆$.

.

a) Đường thẳng $∆$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(1 ; 2 ; 1)$. $H ∈ ∆$ nên $H(2 + t ; 1 + 2t ; t)$.

Điểm $H ∈ ∆$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $∆$ khi và chỉ khi  $\overrightarrow{AH}\bot$  $\overrightarrow{u}$.

Ta có $\overrightarrow{AH}(1+t ; 1 + 2t ; t)$ nên:

$\overrightarrow{AH}$ ⊥ $\overrightarrow{u}$  ⇔ $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH}$ = 0.

                   ⇔ $1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0$

                   ⇔ $6t + 3 = 0   ⇔ t =  -\frac{1}{2}$.

                   ⇔ $H\left (\frac{3}{2};0;-\frac{1}{2} \right )$.

b) Gọi $A’$ là điểm đối xứng của $A$ qua $∆$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $∆$  thì $H$ là trung điểm của $AA’$; vì vậy tọa độ của $H$ là trung bình cộng các tọa độ tương ứng của $A$ và $A’$.

Gọi $A'(x ; y ; z)$ ta có:

$\frac{x+1}{2}=\frac{3}{2}  => x = 2; y = 0; z = -1$.

Vậy $A'(2 ; 0 ; -1)$.