Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \). Các tia phân giác của các góc B, C cắt nhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng ID = IE.
Hướng dẫn: Kẻ tia phân giác góc BIC
Trong ∆ABC, ta có:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác)
\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A\)
\( = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
\(\eqalign{
& \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = {1 \over 2}\widehat B\left( {gt} \right) \cr
& \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = {1 \over 2}\widehat C\left( {gt} \right) \cr} \)
Trong ∆BIC, ta có:
\(\widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right) = 180^\circ - \left( {{{\widehat B} \over 2} + {{\widehat C} \over 2}} \right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
Kẻ tia phân giác \(\widehat {BIC}\) cắt cạnh BC tại K
Suy ra: \(\widehat {{I_2}} = \widehat {{I_3}} = {1 \over 2}\widehat {BIC} = 60^\circ \)
Ta có: \(\widehat {{I_1}} + \widehat {BIC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Rightarrow \widehat {{I_1}} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
\(\widehat {{I_4}} = \widehat {{I_1}} = 60^\circ \) (vì hai góc đối đỉnh)
Xét ∆BIE và ∆BIK, ta có:
\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\left( {gt} \right)\)
BI cạnh chung
\(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}} = 60^\circ \)
Suy ra: ∆BIE = ∆BIK (g.c.g) => IE = IK (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét ∆CIK và ∆CID, ta có:
\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (gt)
CI cạnh chung
\(\widehat {{I_3}} = \widehat {{I_4}} = 60^\circ \)
Suy ra: ∆CIK = ∆CID(g.c.g) => IK = ID (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: IE = ID.