Câu 66 trang 146 Sách Bài Tập (SBT) Toán 7 tập 1: Chứng minh rằng ID = IE....

Cho tam giác ABC có $\widehat A = 60^\circ$. Các tia phân giác của các góc B, C cắt nhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng ID = IE.

Hướng dẫn: Kẻ tia phân giác góc BIC

Trong ∆ABC, ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ  - \widehat A$

                    $= 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ$

$\eqalign{ & \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = {1 \over 2}\widehat B\left( {gt} \right) \cr & \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = {1 \over 2}\widehat C\left( {gt} \right) \cr}$

Trong ∆BIC, ta có:

$\widehat {BIC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right) = 180^\circ  - \left( {{{\widehat B} \over 2} + {{\widehat C} \over 2}} \right) = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ$

Kẻ tia phân giác $\widehat {BIC}$ cắt cạnh BC tại K

Suy ra: $\widehat {{I_2}} = \widehat {{I_3}} = {1 \over 2}\widehat {BIC} = 60^\circ$

Ta có: $\widehat {{I_1}} + \widehat {BIC} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat {{I_1}} = 180^\circ  - \widehat {BIC} = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ$

$\widehat {{I_4}} = \widehat {{I_1}} = 60^\circ$ (vì hai góc đối  đỉnh)

Xét ∆BIE và ∆BIK, ta có:  

$\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\left( {gt} \right)$

BI cạnh chung  

$\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}} = 60^\circ$

Suy ra: ∆BIE =  ∆BIK (g.c.g) => IE = IK (hai cạnh tương ứng)         (1)

Xét ∆CIK và ∆CID, ta có:

$\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}$ (gt)

CI cạnh chung

$\widehat {{I_3}} = \widehat {{I_4}} = 60^\circ$

Suy ra: ∆CIK = ∆CID(g.c.g) => IK = ID (hai cạnh tương ứng)             (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IE = ID.