Cho tam giác ABC. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ABD, ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH. Chứng minh rằng:
a) DM = AH
b) MN đi qua trung điểm của DE
a) Ta có ^BAH+^BAD+^DAM=180∘ (kề bù)
Mà ^BAD=90∘⇒^BAH+^DAM=90∘ (1)
Trong tam giác vuông AMD, ta có:
^AMD=90∘⇒^DAM+^ADM=90∘(2)
Từ (1) và (2) suy ra: ^BAH=^ADM
Xét hai tam giác vuông AMD và BHA, ta có:
^AMD=^BAH=90∘
AB = AD (gt)
^BAH=^ADM (chứng minh trên)
Suy ra: ∆AMD = ∆BHA (cạnh huyền, góc nhọn)
Vậy: AH = DM (2 cạnh tương ứng) (3)
b) Ta có: ^HAC+^CAE+^EAN=180∘ (kề bù)
Mà ^CAE=90∘(gt)⇒^HAC+^EAN=90∘ (4)
Advertisements (Quảng cáo)
Trong tam giác vuông AHC, ta có:
^AHC=90∘⇒^HAC+^HCA=90∘(5)
Từ (4) và (5) suy ra: ^HCA=^EAN
Xét hai tam giác vuông AHC và ENA, ta có:
^AHC=^ENA=90∘
AC = AE (gt)
^HCA=^EAN (chứng minh trên)
Suy ra: ∆AHC = ∆ENA (cạnh huyền, góc nhọn)
Vậy AH = EN (2 cạnh tương ứng)
Từ (3) và (6) suy ra : DM = EN
Vì DM⊥AH và EN⊥AH nên DM // EN (2 đường thẳng cùng vuông góc đường thẳng thứ 3)
Gọi O là giao điểm MN và DE
Xét hai tam giác vuông DMO và ENO, ta có:
^DMO=^ENO=90∘
DM = EN (chứng minh trên)
^MDO=^NEO (so le trong)
Suy ra: ∆DMO = ∆ENO (g.c.g) => OD = DE
Vậy MN đi qua trung điểm của DE.