Cho tam giác ABC. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ABD, ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH. Chứng minh rằng:
a) DM = AH
b) MN đi qua trung điểm của DE
a) Ta có \(\widehat {BAH} + \widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {DAM} = 180^\circ \) (kề bù)
Mà \(\widehat {BA{\rm{D}}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {BAH} + \widehat {DAM} = 90^\circ \) (1)
Trong tam giác vuông AMD, ta có:
\(\widehat {AM{\rm{D }}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {DAM} + \widehat {A{\rm{D}}M} = 90^\circ \left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{D}}M}\)
Xét hai tam giác vuông AMD và BHA, ta có:
\(\widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {BAH} = 90^\circ \)
AB = AD (gt)
\(\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{D}}M}\) (chứng minh trên)
Suy ra: ∆AMD = ∆BHA (cạnh huyền, góc nhọn)
Vậy: AH = DM (2 cạnh tương ứng) (3)
b) Ta có: \(\widehat {HAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} + \widehat {E{\rm{A}}N} = 180^\circ \) (kề bù)
Mà \(\widehat {CA{\rm{E}}} = 90^\circ \left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {E{\rm{A}}N} = 90^\circ \) (4)
Advertisements (Quảng cáo)
Trong tam giác vuông AHC, ta có:
\(\widehat {AHC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \left( 5 \right)\)
Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {HCA} = \widehat {E{\rm{A}}N}\)
Xét hai tam giác vuông AHC và ENA, ta có:
\(\widehat {AHC} = \widehat {E{\rm{N}}A} = 90^\circ \)
AC = AE (gt)
\(\widehat {HCA} = \widehat {E{\rm{A}}N}\) (chứng minh trên)
Suy ra: ∆AHC = ∆ENA (cạnh huyền, góc nhọn)
Vậy AH = EN (2 cạnh tương ứng)
Từ (3) và (6) suy ra : DM = EN
Vì \(DM \bot AH\) và \(EN \bot AH\) nên DM // EN (2 đường thẳng cùng vuông góc đường thẳng thứ 3)
Gọi O là giao điểm MN và DE
Xét hai tam giác vuông DMO và ENO, ta có:
\(\widehat {DMO} = \widehat {EN{\rm{O}}} = 90^\circ \)
DM = EN (chứng minh trên)
\(\widehat {M{\rm{D}}O} = \widehat {NEO}\) (so le trong)
Suy ra: ∆DMO = ∆ENO (g.c.g) => OD = DE
Vậy MN đi qua trung điểm của DE.