Câu 64 trang 146 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1: Chứng minh rằng:DB = CF....

Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh rằng:

a) DB = CF

b) ∆BDC = ∆FCD

c) DE// BC và $DE = {1 \over 2}BC$

a) Xét ∆ADE và ∆CFE, ta có:

AE = CE (gt)

$\widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {{\rm{CEF}}}$ (đối đỉnh)

DE = FE(gt)

Suy ra: ∆ADE = ∆CFE (c.g.c)

$\Rightarrow$ AD = CF (hai cạnh tương ứng)

Mà AD = DB (gt)

Vậy: DB = CF

b) Ta có: ∆ADE = ∆CFE (chứng minh trên)

$\Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {CF{\rm{E}}}$ (2 góc tương ứng)

$\Rightarrow$ AD // CF (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Hay AB // CF

Xét ∆DBC = ∆CDF, ta có:

BD = CF (chứng minh trên)

$\widehat {B{\rm{D}}C} = \widehat {FC{\rm{D}}}$ (hai góc so le trong vì CF // AB)

DC cạnh chung

Suy ra: ∆BDC = ∆FCD(c. g. c)

c) Ta có: ∆BDC = ∆FCD (chứng minh trên)

Suy ra: $\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}$ (hai góc tương ứng)

Suy ra: DE // BC (vì có hai góc so le trong bằng nhau)

BDC = ∆FCD=> BC = DF (hai cạnh tương ứng)

Mà ${\rm{D}}E = {1 \over 2}DF\left( {gt} \right)$. Vậy ${\rm{D}}E = {1 \over 2}BC$