Cho tam giác ABC nhọn. Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DA.
a) Chứng minh rằng AB // EC.
b) Kẻ AH và EK cùng vuông góc với BC \((H \in BC,K \in BC)\) . Chứng minh rằng AH = EK.
c) Trên AC lấy điểm M, trên BE lấy điểm N sao cho AM = EN. Chứng minh rằng ba điểm M, D, N thẳng hàng.
a)Xét tam giác ABD và ECD có:
BD = CD (D là trung điểm của BC)
\(\widehat {BDA} = \widehat {CDE}\) (hai góc đối đỉnh)
AD = ED (giả thiết)
Do đó: \(\Delta ABD = \Delta ECD(c.g.c) \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ECD}\)
Mà \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ECD}\) so le trong do đó: AB // CE.
b) Xét hai tam giác vuông HAD và KED có:
AD = DE (giả thiết)
\(\widehat {HDA} = \widehat {KDE}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: \(\Delta HAD = \Delta KED\) (cạnh huyền - góc nhọn) => AH = EK.
c) Xét hai tam giác MDA và NDE có:
MA = NE (giả thiết)
AD = DE (giả thiết)
\(\widehat {MAD} = \widehat {NED}\) (hai góc so le trong và AC // BE)
Do đó: \(\Delta MDA = \Delta NDE(c.g.c) \Rightarrow \widehat {MDA} = \widehat {NDE}\)
Mà \(\widehat {MDA} + \widehat {MDE} = {180^0}\) (hai góc kề bù)
Do đó: \(\widehat {NDE} + \widehat {MDE} = {180^0} \Rightarrow \) Hai tia DM, DN đối nhau.
Vậy ba điểm M, D, N thẳng hàng.