Bài tập 31 trang 124 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2, Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia DG lấy điểm E sao cho DE = DG....

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia DG lấy điểm E sao cho DE = DG.

a) Chứng minh rằng BG = GC = CE = BE.

b) Chứng minh $\Delta ABE = \Delta ACE$

c) Nếu $CG = {1 \over 2}AE$ thì tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao ?

a) Ta có:$BC \bot GE$ tại D (gt) và D là trung điểm của GE (DE =DG, $D \in EG$)

=> BC là đường trung trực của GE

=> BG = BE và GC = CE (1)

∆ABC cân tại A có AD là đường cao (gt)

=> AD là đường trung tuyến => D là trung điểm của BC

Mà $GE \bot BC$ tại D (gt). Nên GE là đường trung trực của BC

=> BG = GC và BE = CE (2)

Từ (1) và (2) suy ra BG = GC = CE = BE.

b) Xét ∆ABE và ∆ACE ta có:

AB = AC (∆ABC cân tại A), BE = EC (câu a) và AE (cạnh chung)

Do đó: ∆ABE = ∆ACE (c.c.c).

c) ∆ABC cân tại A có AD là đường cao (gt)

=> AD là đường phân giác của góc BAC $\Rightarrow \widehat {BAC} = 2\widehat {GAC}$

∆ABC có G là trọng tâm, AD là đường trung tuyến $\Rightarrow AG = {2 \over 3}AD$

Do đó $DE = DG = {1 \over 3}AD.$ Nên $AG = EG = {1 \over 2}AE$

Mà $CG = {1 \over 2}AE$ (gt). Nên EG = GC = AG

Mà CE = GC. Ta có EG = GC = CE => ∆GEC đều $\Rightarrow \widehat {EGC} = 60^\circ$

Mà AG = GC (= GE) => ∆GAC cân tại G $\Rightarrow \widehat {GAC} = \widehat {GCA}$

Do đó $\widehat {GAC} = {1 \over 2}\widehat {EGC} = {1 \over 2}.60^\circ  = 30^\circ$. Nên $\widehat {BAC} = 2\widehat {GAC} = 60^\circ$

∆ABC cân tại A có $\widehat {BAC} = 60^\circ$. Do đó ∆ABC đều.