Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC \(\left( {E \in BC} \right)\) . Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh rằng:
a) BD là trung trực của AE.
b) AD < DC
c) Ba điểm E, D, F thẳng hàng.
a) Xét ∆ABD (\(\widehat {BAD} = 90^\circ\)) và ∆BDE (\)\widehat {BED} = 90^\circ\))
Ta có: BD (cạnh chung)
\(\widehat {ABD} = \widehat {DBE}\) (BD là tia phân giác của\(\widehat {ABC}\))
Do đó: ∆ABD = ∆EBD (cạnh huyền – góc nhọn)
=> BA = BE và DA = DE
Advertisements (Quảng cáo)
=> BD là đường trung trực của AE.
b) Ta có: DE < DC (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)
AD = DE (∆ABD = ∆EBD)
=> AD < DC.
c) Ta có BE = BA, AF = CE (gt) => BE + CE = BA + AF => BC = BF
Xét ∆BEF và ∆BAC có: BE = BA
\(\widehat {EBF}\) (chung)
BF = BC
Do đó ∆BEF = ∆BAC (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {BEF} = \widehat {BAC} = 90^\circ\)
Ta có \({\rm{EF}} \bot BC\) và\(DE \bot BC\) (gt) => EF, DE trùng nhau. Vậy E, D, F thẳng hàng.