Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại M.
a) Chứng minh rằng ΔAMB=ΔAMC
b) Vẽ trung tuyến CE của tam giác ABC cắt AM tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
c) Biết độ dài BM = 12 cm, AB = 20 cm. Tính độ dài AG.
d) Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại N. Chứng minh ba điểm A, G, N thẳng hàng.
a) Xét ∆AMB và ∆AMC ta có:
AM (cạnh chung)
^BAM=^MAC (AM là tia phân giác của ^BAC)
Và AB = AC (∆ABC cân tại A)
Do đó: ∆AMB = ∆AMC (c.g.c).
b) ∆ABC cân tại A có AM là đường phân giác (gt)
=> AM là đường trung tuyến của ∆ABC.
Mà CE là đường trung tuyến của ∆ABC (gt) và AM cắt CE tại G (gt)
Nên G là trọng tâm của ∆ABC.
Advertisements (Quảng cáo)
c) ∆ABC cân tại A có AM là đường phân giác (gt)
=> AM là đường cao của ∆ABC ⇒AM⊥BC tại M => ∆ABM vuông tại M
=> AM2 + BM2 = AB2 (định lí Pythagore)
=> AM2 + 122 = 202 => AM2 = 256 = 162 => AM = 16 (cm)
∆ABC có AM là đường trung tuyến (câu b) và G là trọng tâm (câu b)
⇒AG=23AM=23.16=323(cm).
d) Ta có: ^ABC=^NCM (∆ABC cân tại A)
^ABC=^NMC (hai góc đồng vị và MN // AB)
Do đó ^NCM=^NMC => ∆NCM cân tại N => NM = NC (1)
Mặt khác: ^BAM=^AMN (hai góc so le trong và AB // MN)
^BAM=^MAN (AM là tia phân giác của ^BAC)
⇒^AMN=^MAN => ∆AMN cân tại N => NM = NA (2)
Từ (1) và (2) suy ra NC = NA
=> N là trung điểm của AC (N∈AC) => BN là đường trung tuyến của ∆ABC
Mà G là trọng tâm của ∆ABC (câu b). Nên BN đi qua G
Vậy B, G, N thẳng hàng.