Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Đường trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox ở D, đường thẳng trung trực của đoạn thẳng OB cắt Oy ở E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:
a) CE = OD; b) CE ⊥ CD;
c) CA = CB; d) CA // DE;
e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Hướng dẫn làm bài:
a) EC // Ox (cùng vuông góc Oy)
DC // Oy (cùng vuông góc Ox)
Do đó: \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{E_2}}\) (So le trong)
\(\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_2}}\) (So le trong)
Mà DE chung
=>∆CDE = ∆OED
=>CE = OD và CD = OE
b) Vì ∆CDE = ∆OED
=> \(\widehat {ECD} = \widehat {DOE}\)
=>CE ⊥ CD
c) Hai tam giác vuông BEC, CDA có :
CD = BE (cùng bằng OE)
CE = AD (cùng bằng OD)
=> ∆BCE = ∆CDA => CB = CA
d) Hai tam giác vuông CDA, DCE bằng nhau vì có hai cặp cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau nên \(\widehat {DCA} = \widehat {{D_2}}\) lại so le trong nên CA // DE.
e) Chứng minh tương tự như d suy ra CB // DE. Do đó theo tiên đề Ơ clit ta suy ra hai đường thẳng BC và CA trùng nhau hay A, B, C thẳng hàng.