Câu 110 trang 93 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1: Chứng minh rằng các tia phân giác các góc của một hình bình hành cắt...

Chứng minh rằng các tia phân giác các góc của một hình bình hành cắt nhau tao thành một hình chữ nhật.

Giải:                                                                         

Gọi G, H, E, K lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của $\widehat A$ và$\widehat B$; $\widehat B$ và$\widehat C$; $\widehat C$ và$\widehat D$; $\widehat D$ và$\widehat A$.

Ta có: $\widehat {ADF} = {1 \over 2}\widehat {ADC}$ (gt)

             $\widehat {DAF} = {1 \over 2}\widehat {DAB}$ (gt)

            $\widehat {ADC} + \widehat {DAB} = {180^0}$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra: $\widehat {ADF} + \widehat {DAF} = {1 \over 2}\left( {\widehat {ADC} + \widehat {DAB}} \right) = {1 \over 2}{.180^0} = {90^0}$

Trong ∆ AFD ta có:

$\widehat {AFD} = {180^0} - \left( {\widehat {ADF} + \widehat {DAF}} \right) = {180^0} - {90^0} = {90^0}$

$\widehat {EFG} = \widehat {AFD}$ (đối đỉnh)

$\eqalign{  &  \Rightarrow \widehat {EFG} = {90^0}  \cr  & \widehat {GAB} = {1 \over 2}\widehat {DAB}(gt)  \cr  & \widehat {GBA} = {1 \over 2}\widehat {CBA}(gt) \cr}$

$\widehat {DAB} + \widehat {CBA} = {180^0}$ (hai góc trong cùng phía)

$\Rightarrow \widehat {GBA} + \widehat {GAB} = {1 \over 2}\left( {\widehat {DAB} + \widehat {CBA}} \right) = {1 \over 2}{.180^0} = {90^0}$

Trong ∆ AGB ta có: $\widehat {AGB} = {180^0} - \left( {\widehat {GAB} + \widehat {GBA}} \right) = {180^0} - {90^0} = {90^0}$

hay $\widehat G = {90^0}$

$\eqalign{  & \widehat {EDC} = {1 \over 2}\widehat {ADC}(gt)  \cr  & \widehat {ECD} = {1 \over 2}\widehat {BCD}(gt) \cr}$

$\widehat {ADC} + \widehat {BCD} = {180^0}$ (hai góc trong cùng phía)

$\Rightarrow \widehat {EDC} + \widehat {ECD} = {1 \over 2}\left( {\widehat {ADC} + \widehat {BCD}} \right) = {1 \over 2}{.180^0} = {90^0}$

Trong ∆ EDC ta có: $\widehat {DEC} = {180^0} - \left( {\widehat {EDC} + \widehat {ECD}} \right) = {180^0} - {90^0} = {90^0}$hay $\widehat E = {90^0}$