Advertisements (Quảng cáo)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM.
a. Chứng minh rằng \(\widehat {HAB} = \widehat {MAC}\)
b. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.
Giải:
a. AH ⊥ BC (gt) \( \Rightarrow \widehat {HAB} + \widehat B = {90^0}\)
\(\widehat B + \widehat C = {90^0}\) (vì ∆ ABC có\(\widehat A = {90^0}\))
Suy ra: \(\widehat {HAB} = \widehat C\) (1)
∆ ABC vuông tại A có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC
⇒ AM = MC = \({1 \over 2}\) BC (tính chất tam giác vuông)
⇒ ∆ MAC cân tại M \( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat C\) (tính chất tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {HAB} = \widehat {MAC}\)
b. xét tứ giác ADHE có:
\(\widehat A = {90^0}\) (gt)
\(\widehat {ADH} = {90^0}\) (vì HD ⊥ AB)
\(\widehat {AEH} = {90^0}\) (vì HE ⊥ AC)
Suy ra: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
⇒ ∆ ADH = ∆ EHD (c.c.c)
\( \Rightarrow {\widehat A_1} = \widehat {HED}\)
\(\widehat {HED} + {\widehat E_1} = \widehat {HEA} = {90^0}\)
Suy ra: \({\widehat E_1} + {\widehat A_1} = {90^0}\)
\({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow {\widehat E_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\)
Gọi I là giao điểm của AM và DE
Trong ∆ AIE ta có:
\(\widehat {AIE} = {180^0} – \left( {{{\widehat E}_1} + {{\widehat A}_1}} \right) = {180^0} – {90^0} = {90^0}\)
\(\Rightarrow \)AM ⊥ DE.