Cho một hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông.
Giải:
Gọi giao điểm các đường phân giác của các góc: \(widehat A,\widehat B,\widehat C,\widehat D\)theo thứ tự cắt nhau tại E, H, F, G.
Trong ∆ ADG ta có: \(\widehat {GAD} = {45^0};\widehat {GDA} = {45^0}\) (gt)
⇒ ∆ GAD vuông cân tại G
\( \Rightarrow \widehat {AGD} = {90^0}\)và GD = GA
\( \Rightarrow \widehat {FGE} = \widehat {AGD} = {90^0}\)
Trong ∆ BHC ta có:
\(\widehat {HBC} = {45^0};\widehat {HCB} = {45^0}\) (gt)
⇒ ∆HBC vuông cân tại H
\( \Rightarrow \widehat {BHC} = {90^0}\) và HB = HC
Advertisements (Quảng cáo)
Trong ∆ FDC ta có: \({\widehat D_1} = {45^0};{\widehat C_1} = {45^0}\) (gt)
⇒ ∆ FDC vuông cân tại F \( \Rightarrow \widehat F = {90^0}\) và FD = FC
nên tứ giác EHFG là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
Xét ∆ GAD và ∆ HBC :
\(\widehat {GAD} = \widehat {HBC} = {45^0}\)
AD = BC (tính chất hình chữ nhật)
\(\widehat {GDA} = \widehat {HCB} = {45^0}\)
Do đó: ∆ GAD = ∆ HBC (g.c.g) ⇒ GD = HC
FD = FC (chứng minh trên)
Suy ra: FG = FH
Vậy hình vuông EHFG có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.