Cho hình vuông DEBC. Trên cạnh CD lấy điểm A, trên tia đối của tia DC lấy điểm K, trên tia đối tia ED lấy điểm M sao cho CA = DK = EM. Vẽ hình vuông DKIH (H thuộc cạnh DE). Chứng minh rằng ABMI là hình vuông.
Giải:
Xét ∆ CAB và ∆ EMB :
CA = ME (gt)
\(\widehat C = \widehat E = {90^0}\)
CB = EB (tính chất hình vuông)
Do đó: ∆ CAB = ∆ EMB (c.g.c)
⇒ AB = MB (1)
AK = DK +DA
CD = CA + AD
mà CA = DK nên AK = CD
Xét ∆ CAB và ∆ KIA :
CA = KI (vì cùng bằng DK)
\(\widehat C = \widehat K = {90^0}\)
CB = AK (vì cùng bằng CD)
Do đó: ∆ CAB = ∆ KIA (c.g.c)
Advertisements (Quảng cáo)
⇒ AB = AI (2)
DH = DK (vì KDHI là hình vuông)
EM = DK (gt)
⇒ DH + HE = HE + EM
hay DE = HM
Xét ∆ HIM và ∆ EMB :
HI = EM (vì cùng bằng DK)
\(\widehat H = \widehat E = {90^0}\)
HM = EB (vì cùng bằng DE)
Do đó: ∆ HIM = ∆ EMB (c.g.c)
⇒ IM = MB (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AB = BM = AI = IM
Tứ giác ABMI là hình thoi.
Mặt khác, ta có ∆ ACB = ∆ MEB (chứng minh trên)
\(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {EBM} \cr & \widehat {CBA} + \widehat {ABE} = \widehat {CBE} = {90^0} \cr} \)
Suy ra: \(\widehat {EBM} + \widehat {ABE} = {90^0}\) hay \(\widehat {ABM} = {90^0}\)
Vậy : Tứ giác ABMI là hình vuông.