Câu 2.3 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 8 tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC= 2 cm. Ở phía ngoài tam giác...

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC= 2 cm. Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác ACE vuông cân tại E.

a. Chứng minh rằng AECB là hình thang vuông

b. Tính các góc và các cạnh của hình thang AECB

a. ∆ ABC vuông cân tại A

$\Rightarrow \widehat {ACB} = {45^0}$

∆ EAC vuông cân tại E

$\Rightarrow \widehat {EAC} = {45^0}$ 

Suy ra: $\widehat {EAC} = \widehat {ACB}$

⇒ AE // BC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

nên tứ giác AECB là hình thang có $\widehat E = {90^0}$. Vậy AECB là hình thang vuông

 b) $\widehat E = \widehat {ECB} = {90^0},\widehat B = {45^0}$

$\widehat B + \widehat {EAB} = {180^0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \widehat {EAB} = {180^0} - \widehat B = {180^0} - {45^0} = {135^0}$

∆ ABC vuông tại A. Theo định lí Py-ta-go ta có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$  mà AB= AC (gt)

$\eqalign{ & \Rightarrow 2A{B^2} = B{C^2} = {2^2} = 4 \cr & A{B^2} = 2 \Rightarrow AB = \sqrt 2 (cm) \Rightarrow AC = \sqrt 2 (cm) \cr}$ 

∆ AEC vuông tại E. Theo định lí Py-ta-go ta có:

$E{A^2} + E{C^2} = A{C^2}$, mà EA = EC (gt)

$\eqalign{ & \Rightarrow 2E{A^2} = A{C^2} = 2 \cr & E{A^2} = 1 \cr & \Rightarrow EA = 1(cm) \Rightarrow EC = 1(cm) \cr}$