Tìm giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên :
a. \({2 \over {x - 3}}\)
b. \({3 \over {x + 2}}\)
c. \({{3{x^3} - 4{x^2} + x - 1} \over {x - 4}}\)
d. \({{3{x^2} - x + 1} \over {3x + 2}}\)
a. \({2 \over {x - 3}}\) là một số nguyên nên \(2 \vdots \left( {x - 3} \right)\) và \(x \ne 3\)
⇒ x – 3 ∈ Ư(2) = { - 2; -1 ; 1; 2 }
\(\eqalign{& x - 3 = - 2 \Rightarrow x = 1 \cr & x - 3 = - 1 \Rightarrow x = 2 \cr & x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4 \cr & x - 3 = 2 \Rightarrow x = 5 \cr} \)
Vậy với x ∈ { 1; 2; 4; 5 } thì \({2 \over {x - 3}}\)là một số nguyên
b. \({3 \over {x + 2}}\) là một số nguyên nên 3 ⋮ (x + 2) và x ≠ - 2
⇒ x + 2 ∈ Ư(3) = { -3; -1; 1; 3 }
\(\eqalign{ & x + 2 = - 3 \Rightarrow x = - 5 \cr & x + 2 = - 1 \Rightarrow x = - 3 \cr & x + 2 = 1 \Rightarrow x = - 1 \cr & x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1 \cr} \)
Vậy với x ∈ { -5; -3; -1; 1 } thì \({3 \over {x + 2}}\) là một số nguyên
c. \({{3{x^3} - 4{x^2} + x - 1} \over {x - 4}}\)\( = {{\left( {3{x^2} + 8x + 33} \right)\left( {x - 4} \right) + 131} \over {x - 4}} = 3{x^2} + 8x + 33 + {{131} \over {x - 4}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Với x là số nguyên ta có : \(3{x^2} + 8x + 33\) là số nguyên
Vậy muốn biểu thức là số nguyên thì 131 ⋮ (x – 4 ) và x ≠ 4
⇒ x – 4 ∈ Ư(131) = {-131; -1; 1; 131}
\(\eqalign{ & x - 4 = - 131 \Rightarrow x = - 127 \cr & x - 4 = - 1 \Rightarrow x = 3 \cr & x - 4 = 1 \Rightarrow x = 5 \cr & x - 4 = 131 \Rightarrow x = 135 \cr} \)
Vậy x ∈ {-127; 3; 5; 135} thì ${{3{x^3} - 4{x^2} + x - 1} \over {x - 4}}$ là số nguyên
d. \({{3{x^2} - x + 1} \over {3x + 2}}\)\( = {{\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) + 3} \over {3x + 2}} = x - 1 + {3 \over {3x + 2}}\) (với \(x \ne - {3 \over 2}\) )
x là số nguyên ta có x – 1 là số nguyên.
Vậy muốn biểu thức đã cho là số nguyên thì 3 ⋮ (3x + 2) và \(x \ne - {3 \over 2}\)
3x + 2 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3 }
\(3x + 2 = - 3 \Rightarrow x = - {5 \over 3} \notin \) (loại)
\(3x + 2 = - 1 \Rightarrow x = - 1\)
\(3x + 2 = 1 \Rightarrow x = - {1 \over 3} \notin \) (loại)
\(3x + 2 = 3 \Rightarrow x = {1 \over 3} \notin \) (loại)
x = - 1 khác \( - {3 \over 2}\)
Vậy với x = - 1 thì biểu thức \({{3{x^2} - x + 1} \over {3x + 2}}\) có giá trị nguyên.