Bài 2 trang 115 Toán 8 tập 1 - Cánh diều: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh...

Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh:

$A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = 4\left( {O{A^2} + O{B^2}} \right) = 4{\rm{A}}{B^2}$

Áp dụng định lí Pythagore trong các tam giác vuông để chứng minh.

Xét $\Delta OAB$ vuông tại A có: $O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}$

Vì ABCD là hình thoi nên OA = OC; OB = OD

Ta có: $\begin{array}{l}A{C^2} + B{D^2} = {(OA + OC)^2} + {(OB + OD)^2}\\ = {(OA + OA)^2} + {(OB + OB)^2}\\ = {(2OA)^2} + {(2OB)^2} = 4.O{A^2} + 4.O{B^2} = 4{(OA^2 + OB^2)} = 4.A{B^2}\end{array}$