Luyện tập 6 trang 172 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho tam giác đều ABC có cạnh là Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điếm M bên trong tam giác đến ba cạnh luôn bằng...

Cho tam giác đều ABC có cạnh là a. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điếm M bên trong tam giác đến ba cạnh luôn bằng ${{a\sqrt 3 } \over 2}$ .

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.

$\Delta ABC \Rightarrow$ AH là đường trung tuyến của tam giác ABC $\Rightarrow H$ là trung điểm của BC

$\Rightarrow BH = {{BC} \over 2} = {a \over 2}$

Tam giác ABH vuông tại H $\Rightarrow A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}$ (định lí Pytago)

$\Rightarrow A{H^2} + {{{a^2}} \over 4} = {a^2} \Rightarrow AH = {{a\sqrt 3 } \over 2}$

Gọi m, n, p lần lượt là khoảng cách từ M đến AB, AC, BC

Ta có: ${S_{ABC}} = {S_{ABM}} + {S_{ACM}} + {S_{BCM}} = {1 \over 2}.m.a + {1 \over 2}.n.a + {1 \over 2}.p.a = {1 \over 2}a\left( {m + n + p} \right)$

Mặt khác: ${S_{ABC}} = {1 \over 2}AH.BC = {1 \over 2}{{a\sqrt 3 } \over 2}.a$

$\Rightarrow {1 \over 2}.a.\left( {m + n + p} \right) = {1 \over 2}.{{a\sqrt 3 } \over 2}.a \Rightarrow m + n + p = {{a\sqrt 3 } \over 2}$

Vậy ta có điều phải chứng minh.