Bài 58 trang 92 sgk Toán 8 tập 2, Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (H.66...

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (H.66).

a)Chứng minh BK = CH.

b)Chứng minh KH//BC.

c)Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.

Hướng dẫn câu c):

-Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH.

-Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK.

Giải

a)Xét hai tam giác vuông BKC và CHB có:

$\widehat {KBC} = \widehat {HCB}$ (∆ABC cân tại A)

BC là cạnh chung

=>∆BKC = ∆CHB

=>BK = CH

b)Ta có : AB = AC (∆ABC cân tại A)

BK = CH (∆BKC = ∆CHB) => AK = AH

Do đó : ${{AK} \over {AB}} = {{AH} \over {AC}}$ =>KH // BC (định lí Ta lét đảo)

c)BH cắt CK tại M =>M là trực tâm của ∆ABC

=>AM ⊥ BC tại I.

Ta có : ∆AIC ∽ ∆BHC vì $\left\{ {\matrix{{\hat I = \hat H = {{90}^0}} \cr {\hat Cchung} \cr} } \right.$

=>${{IC} \over {HC}} = {{AC} \over {BC}}hay{{{a \over 2}} \over {HC}} = {b \over a} =  > HC = {{{a^2}} \over {2b}}$

=>$AH = b - {{{a^2}} \over {2b}} = {{2{b^2} - {a^2}} \over {2b}}$

Mà HK // BC => ${{HK} \over {BC}} = {{AH} \over {AC}} =  > HK = {{BC.AH} \over {AC}}$

=>$HK = {a \over b}\left( {{{2{b^2} - {a^2}} \over {2b}}} \right) = {{2a{b^2} - {a^2}} \over {2{b^2}}}$