Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H, D, M.
Giải
+Nhận xét: D luôn nằm giữa H và M.
+Chứng minh: AD là đường phân giác của ∆ABC.
=>\({{AB} \over {AC}} = {{DB} \over {DC}}\) AB < AC
=>DB < DC => DB + DC < DC + DC
=>BD + DC < 2DC hay BC < 2DC => DC >\({{BC} \over 2}\)
Mà \(MC = {{BC} \over 2}\) (M là trung điểm của BC)
Advertisements (Quảng cáo)
=>DC > MC =>M nằm giữa D và C (1)
+Mặt khác: \(\widehat {CAH} = {90^0} - \hat C\) (∆CAH vuông tại H)
\(\hat A + \hat B + \hat C = {180^0}\) (tổng 3 góc ∆ABC)
=>\(\widehat {CAH} = {{\hat A + \hat B + \hat C} \over 2} - \hat C\)
=>\(\widehat {CAH} = {{\hat A} \over 2} + {{\hat B} \over 2} - {{\hat C} \over 2} = {{\hat A} \over 2} + {{\hat B - \hat C} \over 2}\)
Vì AB < AC =>\(\widehat C < \widehat B \Rightarrow \widehat B - \widehat C > 0\)
Do đó: \(\widehat {CAH} > {{\hat A} \over 2}\) hay \(\widehat {CAH} > \widehat {CAD}\)
=>Tia AD nằm giữa hai tia AH và AC =>D nằm giữa hai điểm H và C (2)
Từ (1) và (2) => D nằm giữa H và M.