Bài 57 trang 92 sgk Toán 8 tập 2, Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H, D, M....

Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H, D, M.

Giải

+Nhận xét: D luôn nằm giữa H và M.

+Chứng minh: AD là đường phân giác của ∆ABC.

=>${{AB} \over {AC}} = {{DB} \over {DC}}$  AB < AC

=>DB < DC => DB + DC < DC + DC

=>BD + DC < 2DC hay BC < 2DC => DC >${{BC} \over 2}$

Mà $MC = {{BC} \over 2}$ (M là trung điểm của BC)

=>DC > MC =>M nằm giữa D và C (1)

+Mặt khác: $\widehat {CAH} = {90^0} - \hat C$ (∆CAH vuông tại H)

$\hat A + \hat B + \hat C = {180^0}$ (tổng 3 góc ∆ABC)

=>$\widehat {CAH} = {{\hat A + \hat B + \hat C} \over 2} - \hat C$

=>$\widehat {CAH} = {{\hat A} \over 2} + {{\hat B} \over 2} - {{\hat C} \over 2} = {{\hat A} \over 2} + {{\hat B - \hat C} \over 2}$

Vì AB < AC =>$\widehat C < \widehat B \Rightarrow \widehat B - \widehat C > 0$

Do đó: $\widehat {CAH} > {{\hat A} \over 2}$ hay $\widehat {CAH} > \widehat {CAD}$

=>Tia AD nằm giữa hai tia AH và AC =>D nằm giữa hai điểm H và C (2)

Từ (1) và (2) => D nằm giữa H và M.