Câu 60 trang 98 SBT Toán 8 tập 2: Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng...

Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ một điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E thuộc BC, F thuộc AB). Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N

Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau.

 Giải:

(hình trang 125 sgbt)

Gọi Q là giao điểm của PF và AK, I là giao điểm của PE và CL.

Trong tam giác FBE, ta có:

PE // AK hay QM // PE

Suy ra: ${{FQ} \over {FB}} = {{FM} \over {FE}}$ (Định lí Ta-lét )         (1)

Trong tam giác ALO, ta có:

PF // CL hay FQ // LO

Suy ra: ${{AF} \over {AL}} = {{FQ} \over {LO}}$  (Định lí Ta-lét )                      (2)

Trong tam giác ALC,ta có:

PF // CL

Suy ra: ${{AF} \over {AL}} = {{FP} \over {CL}}$  (Định lí Ta-lét )                         (3)

Từ (2) và (3) suy ra ${{FQ} \over {LO}} = {{FP} \over {CL}} \Rightarrow {{FQ} \over {FP}} = {{LO} \over {CL}}$

Vì LO = ${1 \over 3}$ CL (tính chất đường trung tuyến) nên ${{FQ} \over {FP}} = {1 \over 3}$                  (4)

Từ (1) và (4) suy ra ${{FM} \over {FE}} = {1 \over 3} \Rightarrow FM = {1 \over 3}FE$

Trong tam giác EBF, ta có:

 PF // CL hay NI // PF

Suy ra: ${{EI} \over {EP}} = {{EN} \over {EF}}$  (Định lí Ta-lét )                               (5)

Trong tam giác CKO, ta có: EI // OK

Suy ra: ${{CE} \over {CK}} = {{EI} \over {KO}}$  (Định lí Ta-lét )         (6)

Trong tam giác CKA, ta có: PE // AK

Suy ra: ${{CE} \over {CK}} = {{EP} \over {AK}}$  (Định lí Ta-lét )         (7)

Từ (6) và (7) suy ra :

 $\eqalign{  & {{EI} \over {OK}} = {{EP} \over {AK}}  \cr  &  \Rightarrow {{EI} \over {EP}} = {{OK} \over {AK}} \cr}$

Vì OK = ${1 \over 3}$AK (tính chất đường trung tuyến) nên:

${{EI} \over {EP}} = {1 \over 3}$                   (8)

Từ (5) và (8) suy ra :

$\eqalign{  & {{EN} \over {EF}} = {1 \over 3}  \cr  &  \Rightarrow EN = {1 \over 3}EF \cr}$

Ta có:

$\eqalign{  & MN = EF - \left( {EN + FM} \right)  \cr  &  = EF - \left( {{1 \over 3}EF + {1 \over 3}EF} \right) = {1 \over 3}EF \cr}$

Vậy EN = MN = NF.