Câu 2.17 Trang 110 Sách BT Toán 9 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có α là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo chứng...

Cho tứ giác ABCD có α là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo chứng minh rằng:

${S_{ABCD}} = {1 \over 2}AC.BD.\sin a.$

Giả sử hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại I, $\widehat {AIB} = \alpha$ là góc nhọn.

Kẻ đường cao AH của tam giác ABD và đường cao CK của tam giác CBD.

Ta có: AH = AIsinα, CK = CIsinα, diện tích tam giác ABD là ${S_{ABD}} = {1 \over 2}BD.AH,$ diện tích tam giác CBD là: ${S_{CBD}} = {1 \over 2}BD.CK.$

Từ đó diện tích S của tứ giác ABCD là:

$\eqalign{ & S = {S_{ABD}} + {S_{CBD}} \cr & = {1 \over 2}BD.(AH + CK) \cr & = {1 \over 2}BD.(AI + CI)\sin \alpha \cr & = {1 \over 2}{\rm{BC}}{\rm{.ACs}}in\alpha \cr}$