Câu hỏi Bài 2 trang 71 SGK Toán lớp 9 Tập 1 :...

Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat A = \alpha$ . Chứng minh rằng:

a) $\alpha  = {45^o} \Leftrightarrow {{AC} \over {AB}} = 1$

b) $\alpha  = {60^o} \Leftrightarrow {{AC} \over {AB}} = \sqrt 3$

a)

Tam giác ABC vuông tại A có $\widehat B = {45^o} \Rightarrow \Delta ABC$ vuông cân tại A $\Rightarrow AB = AC \Rightarrow {{AB} \over {AC}} = 1$

b)

Kẻ trung tuyến AD của tam giác vuông ABC

$\Rightarrow AD = BD = {{BC} \over 2}$

Tam giác ABD có: $AD = BD,\,\,\widehat {ABD} = {60^o}$

$\Rightarrow \Delta ABD$ là tam giác đều

$\Rightarrow AB = AD = {{BC} \over 2} \Rightarrow BC = AB$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A có:

$\eqalign{& A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}  \cr &  \Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} = 4A{B^2}  \cr &  \Leftrightarrow A{C^2} = 3A{B^2} \Leftrightarrow AC = \sqrt 3 AB  \cr &  \Leftrightarrow {{AC} \over {AB}} = \sqrt 3  \cr}$