Câu 6.1 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0).
Điều nào sau đây đúng?
A) x1+x2=ba,x1x2=ca
B) x1+x2=−ba,x1x2=−ca
C) x1+x2=ba,x1x2=−ca
D) x1+x2=−ba,x1x2=ca
x1, x2 là nghiệm của phương trình: ax2+bx+c=0(a≠0)
Chọn D x1+x2=−ba,x1x2=ca
Câu 6.2 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giả sử x1, x2 la hai nghiệm của phương trình x2+px+q=0. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 + x2, x1x2.
Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2+px+q=0
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+x2=−p1=−p;x1x2=q1=q
Phương trình có hai nghiệm là x1+x2 và x1x2 tức là phương trình có hai nghiệm là –p và q.
Hai số -p và q là nghiệm của phương trình.
(x+p)(x−q)=0⇔x2−qx+px−pq=0⇔x2+(q−p)x−pq=0
Phương trình cần tìm: x2+(p−q)x−pq=0
Câu 6.3 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Dùng định lí Vi-ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức ax2+bx+c có hai nghiệm x1 và x2 thì nó phân tích được thành
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)
Áp dụng:
Phân tích các tam thức sau thành tích:
a) x2−11x+30
b) 3x2+14x+8
c) 5x2+8x−4
d) x2−(1+2√3)x−3+√3
a) Tam thức bậc hai: ax2+bx+c có hai nghiệm x1, x2 nên phương trình: ax2+bx+c=0(a≠0) có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1+x2=−ba;x1x2=ca(1)ax2+bx+c=a(x2+bax+ca)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
ax2+bx+c=a[x2−(x1+x2)x+x1x2]=a[x2−x1x−x2x+x1x2]=a[x(x−x1)−x2(x−x1)]=a(x−x1)(x−x2)
Áp dụng
Advertisements (Quảng cáo)
a)
x2−11x+30=xΔ=(−11)2−4.1.30=121−120=1>0√Δ=√1=1x1=11+12.1=6x2=11−12.1=5
Ta có: x2−11x+30=(x−6)(x+5)
b)
\eqalign{ & 3{x^2} + 14x + 8 = 0 \cr & \Delta ‘ = {7^2} - 3.8 = 49 - 24 = 25 > 0 \cr & \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {25} = 5 \cr & {x_1} = {{ - 7 + 5} \over 3} = - {2 \over 3} \cr & {x_2} = {{ - 7 - 5} \over 3} = - 4 \cr & 3{x^2} + 14x + 8 = 3\left( {x + {2 \over 3}} \right)\left( {x + 4} \right) = \left( {3x + 2} \right)\left( {x + 4} \right) \cr}
c)
\eqalign{ & 5{x^2} + 8x - 4 = 0 \cr & \Delta ‘ = {4^2} - 5.\left( { - 4} \right) = 16 + 20 = 36 > 0 \cr & \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {36} = 6 \cr & {x_1} = {{ - 4 - 6} \over 5} = - 2 \cr & {x_2} = {{ - 4 + 6} \over 5} = {2 \over 5} \cr & \Rightarrow 5{x^2} + 8x - 4 = 5\left( {x - {2 \over 5}} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {5x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \cr}
d)
\eqalign{ & {x^2} - \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x - 3 + \sqrt 3 = 0 \cr & \Delta = {\left[ { - \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)} \right]^2} - 4.1.\left( { - 3 + \sqrt 3 } \right) \cr & = 1 + 4\sqrt 3 + 12 + 12 - 4\sqrt 3 = 25 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr & {x_1} = {{1 + 2\sqrt 3 + 5} \over {2.1}} = 3 + \sqrt 3 \cr & {x_2} = {{1 + 2\sqrt 3 - 5} \over {2.1}} = \sqrt 3 - 2 \cr & {x^2} - \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x - 3 + \sqrt 3 = \left[ {x - \left( {3 + \sqrt 3 } \right)} \right]\left[ {x - \left( {\sqrt 3 - 2} \right)} \right] \cr & = \left( {x - 3 - \sqrt 3 } \right)\left( {x - \sqrt 3 + 2} \right) \cr}
Câu 6.4 trang 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Cho phương trình
\left( {2m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2 = 0(m \ne {1 \over 2}).
a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.
c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.
Phương trình: \left( {2m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2 = 0(m \ne {1 \over 2}) (1)
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \sqrt {\Delta ‘} \ge 0
\eqalign{ & \Delta ‘ = {\left[ { - \left( {m + 4} \right)} \right]^2} - \left( {2m - 1} \right)\left( {5m + 2} \right) \cr & = {m^2} + 8m + 16 - 10{m^2} - 4m + 5m + 2 \cr & = - 9m + 9m + 18 \cr & = - 9m\left( {{m^2} - m - 2} \right) \cr & = - 9\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \cr & \Delta ‘ \ge 0 \Rightarrow - 9\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \le 0 \cr}
\Rightarrow \left\{ {\matrix{ {m - 2 \ge 0} \cr {m + 1 \le 0} \cr} } \right. hoặc
\left\{ {\matrix{ {m - 2 \le 0} \cr {m + 1 \ge 0} \cr} } \right.
\left\{ {\matrix{ {m - 2 \ge 0} \cr {m + 1 \le 0} \cr } \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {m \ge 2} \cr {m \le - 1} \cr} } \right.} \right.
vô nghiệm
\left\{ {\matrix{ {m - 2 \le 0} \cr {m + 1 \ge 0} \cr } \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {m \le 2} \cr {m \ge - 1} \cr} \Leftrightarrow - 1 \le m \le 2} \right.} \right.
Vậy với -1 ≤ m ≤ 2 thì phương trình (1) có nghiệm.
b) Phương trình có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét ta có:
{x_1} + {x_2} = {{2\left( {m + 4} \right)} \over {2m - 1}};{x_1}{x_2} = {{5m + 2} \over {2m - 1}}
c) Đặt {x_1} + {x_2} = S;{x_1}{x_2} = P
S = {{2m + 8} \over {2m - 1}} \Leftrightarrow 2mS - S = 2m + 8 \Leftrightarrow 2m\left( {S - 1} \right) = S + 8
Ta có:
\eqalign{ & 2m + 8 \ne 2m - 1 \Rightarrow S \ne 1 \cr & \Rightarrow m = {{S + 8} \over {2\left( {S - 1} \right)}} \cr}
Thay vào biểu thức P ta có:
\eqalign{ & P = {{5.{{S + 8} \over {2\left( {S - 1} \right)}} + 2} \over {2.{{S + 8} \over {2\left( {S - 1} \right)}} - 1}} = {{5S + 40 + 4S - 4} \over {2S + 16 - 2S + 2}} = {{9S + 36} \over {18}} = {{S + 4} \over 2} \cr & \Rightarrow 2P = S + 4 \Rightarrow 2P - S = 4 \cr & \Rightarrow 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4 \cr}
Biểu thức không phụ thuộc vào m