Câu 70 trang 16 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức...

Rút gọn các biểu thức:

a) ${2 \over {\sqrt 3  - 1}} - {2 \over {\sqrt 3  + 1}}$

b) ${5 \over {12(2\sqrt 5  + 3\sqrt 2 )}} - {5 \over {12(2\sqrt 5  - 3\sqrt 2 )}}$

c) ${{5 + \sqrt 5 } \over {5 - \sqrt 5 }} + {{5 - \sqrt 5 } \over {5 + \sqrt 5 }}$

d) ${{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3  + 1}  - 1}} - {{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3  + 1}  + 1}}$

Gợi ý làm bài

a) ${2 \over {\sqrt 3  - 1}} - {2 \over {\sqrt 3  + 1}}$ $= {{2(\sqrt 3  + 1) - 2(\sqrt 3  - 1)} \over {(\sqrt 3  + 1)(\sqrt 3  - 1)}}$

$= {{2\sqrt 3  + 2 - 2\sqrt 3  + 2} \over {3 - 1}} = {4 \over 2} = 2$

b) ${5 \over {12(2\sqrt 5  + 3\sqrt 2 )}} - {5 \over {12(2\sqrt 5  - 3\sqrt 2 )}}$

$= {{5(2\sqrt 5  - 3\sqrt 2 ) - 5(2\sqrt 5  + 3\sqrt 2 )} \over {12(2\sqrt 5  + 3\sqrt 2 )(2\sqrt 5  - 3\sqrt 2 )}}$

$\eqalign{ & = {{10\sqrt 5 - 15\sqrt 2 - 10\sqrt 5 - 15\sqrt 2 } \over {12(20 - 18)}} \cr & = {{ - 30\sqrt 2 } \over {12.2}} = - {{5\sqrt 2 } \over 4} \cr}$

c) ${{5 + \sqrt 5 } \over {5 - \sqrt 5 }} + {{5 - \sqrt 5 } \over {5 + \sqrt 5 }}$ $= {{{{(5 + \sqrt 5 )}^2} + {{(5 - \sqrt 5 )}^2}} \over {(5 + \sqrt 5 )(5 - \sqrt 5 )}}$

$= {{25 + 10\sqrt 5  + 5 + 25 - 10\sqrt 5  + 5} \over {25 - 5}} = {{60} \over {20}} = 3$

d) ${{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3  + 1}  - 1}} - {{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3  + 1}  + 1}}$

$= {{\sqrt 3 (\sqrt {\sqrt 3  + 1}  + 1) - \sqrt 3 (\sqrt {\sqrt 3  + 1}  - 1)} \over {(\sqrt {\sqrt 3  + 1}  + 1)(\sqrt {\sqrt 3  + 1}  - 1)}}$

$\eqalign{ & = {{\sqrt {3(\sqrt 3 + 1)} + \sqrt 3 - \sqrt {3(\sqrt 3 + 1)} + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1 - 1}} \cr & = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2 \cr}$