Advertisements (Quảng cáo)
Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó.
a) \(2{x^2} – 2x + m = 0\)
b) \({x^2} + 3mx – m + 2 = 0\)
c) \({x^2} – (m – 2)x + 1 = 0\)
Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép là: \(\Delta = 0\left( {\Delta ‘ = 0} \right)\). Nghiệm kép của phương trình là \({x_1} = {x_2} = – \dfrac{{b’}}{a}\)
a) \(2{x^2} – 2x + m = 0\)
Ta có: \(a = 2;b’ = – 1;c = m;\Delta ‘ = 1 – 2m\)
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow 1 – 2m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\)
Với \(m = \dfrac{1}{2}\) phương trình trở thành \(2{x^2} – 2x + \dfrac{1}{2} = 0\) . Phương trình có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = – \dfrac{{b’}}{a} = \dfrac{1}{2}\)
b) \({x^2} + 3mx – m + 2 = 0\)
Ta có: \(a = 1;b = 3m;c = – m + 2;\)
\(\Delta = 9{m^2} – 4\left( { – m + 2} \right) \)\(\;= 9{m^2} + 4m – 8\)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta = 0 \)
\(\Leftrightarrow 9{m^2} + 4m – 8 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{ – 2 + 2\sqrt {19} }}{9}\\m = \dfrac{{ – 2 – 2\sqrt {19} }}{9}\end{array} \right.\)
+) Với \(m = \dfrac{{ – 2 + 2\sqrt {19} }}{9}\) Phương trình có nghiệm kép là:\({x_1} = {x_2} = – \dfrac{b}{{2a}} = – \dfrac{{3m}}{2} \)\(\,= – \dfrac{{3.\dfrac{{ – 2 + 2\sqrt {19} }}{9}}}{2} = \dfrac{{1 – \sqrt {19} }}{3}\)
+) Với \(m = \dfrac{{ – 2 – 2\sqrt {19} }}{9}\) Phương trình có nghiệm kép là:\({x_1} = {x_2} = – \dfrac{b}{{2a}} = – \dfrac{{3m}}{2}\)\(\; = – \dfrac{{3.\dfrac{{ – 2 – 2\sqrt {19} }}{9}}}{2} = \dfrac{{1 + \sqrt {19} }}{3}\)
c) \({x^2} – \left( {m – 2} \right)x + 1 = 0;\)
\(a = 1;b = – \left( {m – 2} \right);c = 1;\)
\(\Delta = {\left( {m – 2} \right)^2} – 4\)
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta = 0 \)
\(\Leftrightarrow {\left( {m – 2} \right)^2} – 4 = 0 \)
\(\Leftrightarrow {\left( {m – 2} \right)^2} = 4 \)
\(\Leftrightarrow m – 2 = \pm 2\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 0\end{array} \right.\)
+) TH1: với \(m = 4\) ta có: phương trình có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{m – 2}}{2} = 1\)
+) TH2: với \(m = 0\) ta có phương trình có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{m – 2}}{2} = – 1\)