Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó.
a) \(2{x^2} - 2x + m = 0\)
b) \({x^2} + 3mx - m + 2 = 0\)
c) \({x^2} - (m - 2)x + 1 = 0\)
Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép là: \(\Delta = 0\left( {\Delta ‘ = 0} \right)\). Nghiệm kép của phương trình là \({x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b’}}{a}\)
a) \(2{x^2} - 2x + m = 0\)
Ta có: \(a = 2;b’ = - 1;c = m;\Delta ‘ = 1 - 2m\)
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\)
Với \(m = \dfrac{1}{2}\) phương trình trở thành \(2{x^2} - 2x + \dfrac{1}{2} = 0\) . Phương trình có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b’}}{a} = \dfrac{1}{2}\)
b) \({x^2} + 3mx - m + 2 = 0\)
Ta có: \(a = 1;b = 3m;c = - m + 2;\)
\(\Delta = 9{m^2} - 4\left( { - m + 2} \right) \)\(\;= 9{m^2} + 4m - 8\)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta = 0 \)
\(\Leftrightarrow 9{m^2} + 4m - 8 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{ - 2 + 2\sqrt {19} }}{9}\\m = \dfrac{{ - 2 - 2\sqrt {19} }}{9}\end{array} \right.\)
+) Với \(m = \dfrac{{ - 2 + 2\sqrt {19} }}{9}\) Phương trình có nghiệm kép là:\({x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{{3m}}{2} \)\(\,= - \dfrac{{3.\dfrac{{ - 2 + 2\sqrt {19} }}{9}}}{2} = \dfrac{{1 - \sqrt {19} }}{3}\)
+) Với \(m = \dfrac{{ - 2 - 2\sqrt {19} }}{9}\) Phương trình có nghiệm kép là:\({x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{{3m}}{2}\)\(\; = - \dfrac{{3.\dfrac{{ - 2 - 2\sqrt {19} }}{9}}}{2} = \dfrac{{1 + \sqrt {19} }}{3}\)
c) \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x + 1 = 0;\)
\(a = 1;b = - \left( {m - 2} \right);c = 1;\)
\(\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4\)
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta = 0 \)
\(\Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 4 = 0 \)
\(\Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = 4 \)
\(\Leftrightarrow m - 2 = \pm 2\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 0\end{array} \right.\)
+) TH1: với \(m = 4\) ta có: phương trình có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{m - 2}}{2} = 1\)
+) TH2: với \(m = 0\) ta có phương trình có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{m - 2}}{2} = - 1\)