Bài 13 trang 50 Tài liệu dạy và học Toán 9 tập 2: Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó....

Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó.

a) $2{x^2} - 2x + m = 0$

b) ${x^2} + 3mx - m + 2 = 0$

c) ${x^2} - (m - 2)x + 1 = 0$

Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép là: $\Delta  = 0\left( {\Delta ‘ = 0} \right)$. Nghiệm kép của phương trình là ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{{b’}}{a}$

a) $2{x^2} - 2x + m = 0$

Ta có: $a = 2;b’ =  - 1;c = m;\Delta ‘ = 1 - 2m$

Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi $\Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}$

Với $m = \dfrac{1}{2}$ phương trình trở thành $2{x^2} - 2x + \dfrac{1}{2} = 0$ . Phương trình có nghiệm kép là: ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{{b’}}{a} = \dfrac{1}{2}$

b) ${x^2} + 3mx - m + 2 = 0$

Ta có: $a = 1;b = 3m;c =  - m + 2;$

$\Delta  = 9{m^2} - 4\left( { - m + 2} \right)$$\;= 9{m^2} + 4m - 8$

Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi $\Delta  = 0$

$\Leftrightarrow 9{m^2} + 4m - 8 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{ - 2 + 2\sqrt {19} }}{9}\\m = \dfrac{{ - 2 - 2\sqrt {19} }}{9}\end{array} \right.$

+) Với $m = \dfrac{{ - 2 + 2\sqrt {19} }}{9}$ Phương trình có nghiệm kép là:${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{{3m}}{2}$$\,=  - \dfrac{{3.\dfrac{{ - 2 + 2\sqrt {19} }}{9}}}{2} = \dfrac{{1 - \sqrt {19} }}{3}$

+) Với $m = \dfrac{{ - 2 - 2\sqrt {19} }}{9}$  Phương trình có nghiệm kép là:${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{{3m}}{2}$$\; =  - \dfrac{{3.\dfrac{{ - 2 - 2\sqrt {19} }}{9}}}{2} = \dfrac{{1 + \sqrt {19} }}{3}$

c) ${x^2} - \left( {m - 2} \right)x + 1 = 0;$

$a = 1;b =  - \left( {m - 2} \right);c = 1;$

$\Delta  = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4$

Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi $\Delta  = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 4 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = 4$

$\Leftrightarrow m - 2 =  \pm 2$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 0\end{array} \right.$

+) TH1: với $m = 4$ ta có: phương trình có nghiệm kép là: ${x_1} = {x_2} = \dfrac{{m - 2}}{2} = 1$

+) TH2: với $m = 0$ ta có phương trình có nghiệm kép là: ${x_1} = {x_2} = \dfrac{{m - 2}}{2} =  - 1$