Không giải phương trình hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) \(3{x^2} - 7x + 5 = 0\)
b) \({x^2} - x - 2 = 0\)
c) \(m{x^2} - 2(m + 1)x + m + 2 = 0(m \ne 0)\)
d) \((m + 1){x^2} + mx - m + 3 = 0(m \ne - 1)\)
e) \((2 - \sqrt 3 ){x^2} + 4x + 2 + \sqrt 2 = 0\)
f) \({x^2} - (1 + \sqrt 2 )x + \sqrt 2 = 0\)
Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).
a) \(3{x^2} - 7x + 5 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.3.5 = - 11 \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.
b) \({x^2} - x - 2 = 0\) có \(ac = 1.\left( { - 2} \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{7}{3}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\).
Advertisements (Quảng cáo)
c) \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 2 = 0\,\,\left( {m \ne 0} \right)\)
Ta có \(\Delta ‘ = {\left( {m + 1} \right)^2} - m\left( {m + 2} \right) \)\(\,= {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 2m = 1 > 0 \)
\(\Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{m}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{{m + 2}}{m}\end{array} \right.\).
d) \(\left( {m + 1} \right){x^2} + mx - m + 3 = 0\,\,\,\left( {m \ne - 1} \right)\)
Ta có: \(\Delta = {m^2} - 4\left( {m + 1} \right)\left( { - m + 3} \right) \)\(\,= {m^2} + 4{m^2} - 8m - 12 \)\(\,= 5{m^2} - 8m - 12\)
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 8m - 12 > 0\). Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{m}{{m + 1}}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{{ - m + 3}}{{m + 1}}\end{array} \right.\) với m thỏa mãn \(5{m^2} - 8m - 12 > 0\).
e) \(\left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} + 4x + 2 + \sqrt 2 = 0\) ta có:
\(\Delta ‘ = {2^2} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right) \)\(\,= 4 - 4 - 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + \sqrt 6 \)\(\,= - 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + \sqrt 6 > 0\)
\(\Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{4}{{2 - \sqrt 3 }}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 3 }}\end{array} \right.\).
f) \({x^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 = 0\)
Ta có \(\Delta = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} - 4\sqrt 2 \)\(\,= 3 + 2\sqrt 2 - 4\sqrt 2 = 3 - 2\sqrt 2 > 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - 1 - \sqrt 2 \\P = {x_1}{x_2} = \sqrt 2 \end{array} \right.\).
Baitapsgk.com