Bài 19 trang 140 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2: Cho phương trình...

Cho phương trình ${x^2} + \sqrt 3 x - \sqrt 5  = 0$ . Không giải phương trình, hãy chứng minh phương trình trên có hai nghiệm x₁, x₂ và tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\dfrac{1}{{{x_1}^2}} + \dfrac{1}{{x_2^2}}$

b) $x_1^2 + x_2^2$

c) $\dfrac{1}{{{x_1}^3}} + \dfrac{1}{{x_2^3}}$

d) $\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}}$

Phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có 2 nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$. Theo định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$.

Phương trình ${x^2} + \sqrt 3 x - \sqrt 5  = 0$ có $ac =  - \sqrt 5  < 0 \Rightarrow$ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$.

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \sqrt 3 \\{x_1}{x_2} =  - \sqrt 5 \end{array} \right.$.

a) $\dfrac{1}{{{x_1}^2}} + \dfrac{1}{{x_2^2}} = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{x_1^2x_2^2}}$$\,= \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{3 + 2\sqrt 5 }}{5}$

b) $x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$$\, = 3 + 2\sqrt 5$

c)

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{x_1^3}} + \dfrac{1}{{x_2^3}} = \dfrac{{x_1^3 + x_2^3}}{{x_1^3x_2^3}}\\ = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^3}}}\\ = \dfrac{{{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^3} - 3.\left( { - \sqrt 5 } \right).\left( { - \sqrt 3 } \right)}}{{{{\left( { - \sqrt 5 } \right)}^3}}}\\ = \dfrac{{3\sqrt 3  + 3\sqrt {15} }}{{5\sqrt 5 }} = \dfrac{{3\sqrt {15}  + 15\sqrt 3 }}{{25}}\end{array}$

d) Ta có ${x_1}{x_2} =  - \sqrt 5  \Rightarrow$Phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu $\Rightarrow$ Biểu thức $\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}}$ không xác định.

 Baitapsgk.com