Cho phương trình \({x^2} + \sqrt 3 x - \sqrt 5 = 0\) . Không giải phương trình, hãy chứng minh phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 và tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\dfrac{1}{{{x_1}^2}} + \dfrac{1}{{x_2^2}}\)
b) \(x_1^2 + x_2^2\)
c) \(\dfrac{1}{{{x_1}^3}} + \dfrac{1}{{x_2^3}}\)
d) \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} \)
Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình \({x^2} + \sqrt 3 x - \sqrt 5 = 0\) có \(ac = - \sqrt 5 < 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \sqrt 3 \\{x_1}{x_2} = - \sqrt 5 \end{array} \right.\).
a) \(\dfrac{1}{{{x_1}^2}} + \dfrac{1}{{x_2^2}} = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{x_1^2x_2^2}} \)\(\,= \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{3 + 2\sqrt 5 }}{5}\)
b) \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\)\(\, = 3 + 2\sqrt 5 \)
c)
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{x_1^3}} + \dfrac{1}{{x_2^3}} = \dfrac{{x_1^3 + x_2^3}}{{x_1^3x_2^3}}\\ = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^3}}}\\ = \dfrac{{{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^3} - 3.\left( { - \sqrt 5 } \right).\left( { - \sqrt 3 } \right)}}{{{{\left( { - \sqrt 5 } \right)}^3}}}\\ = \dfrac{{3\sqrt 3 + 3\sqrt {15} }}{{5\sqrt 5 }} = \dfrac{{3\sqrt {15} + 15\sqrt 3 }}{{25}}\end{array}\)
d) Ta có \({x_1}{x_2} = - \sqrt 5 \Rightarrow \)Phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu \( \Rightarrow \) Biểu thức \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} \) không xác định.
Baitapsgk.com