Bài 2 trang 65 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2: Giải các phương trình sau:...

Giải các phương trình sau:

a) $\dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{{x + 3}}{{x - 1}} = 6$ 

b) $\dfrac{{2x - 1}}{x} + 3 = \dfrac{{x + 3}}{{2x - 1}}$

c) $\dfrac{{{t^2}}}{{t - 1}} + t = \dfrac{{2{t^2} + 5t}}{{t + 1}}$   

d) $\dfrac{{x - 2}}{{x + 3}} + 1 = \dfrac{{3x - 1}}{{x - 3}}$

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu thức

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Đối chiếu điều kiện xác định với các kết quả vừa tìm được và kết luận nghiệm.

a) $\dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{{x + 3}}{{x - 1}} = 6$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 1\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{{x + 3}}{{x - 1}} = 6\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{6\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + {x^2} + x - 6 = 6\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 6 - 6{x^2} + 18x - 12 = 0\\ \Leftrightarrow  - 4{x^2} + 18x - 18 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 9x + 9 = 0;\\\,\,a = 2;b =  - 9;c = 9\\\Delta  = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.2.9 = 9 > 0;\sqrt \Delta   = 3\end{array}$

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

${x_1} = \dfrac{{9 + 3}}{4} = 3\left( {tm} \right);$

${x_2} = \dfrac{{9 - 3}}{4} = \dfrac{3}{2}\left( {tm} \right)$

Vậy phương trình có 2 nghiệm ${x_1} = 3;{x_2} = \dfrac{3}{2}.$

b) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\2x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\dfrac{{2x - 1}}{x} + 3 = \dfrac{{x + 3}}{{2x - 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{x\left( {2x - 1} \right)}} + \dfrac{{3x\left( {2x - 1} \right)}}{{x\left( {2x - 1} \right)}} = \dfrac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {2x - 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} + 3x\left( {2x - 1} \right) - \left( {x + 3} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 + 6{x^2} - 3x - {x^2} - 3x = 0\\ \Leftrightarrow 9{x^2} - 10x + 1 = 0;\\a = 9;b =  - 10;c = 1\\Do\,\,a + b + c = 9 - 10 + 1 = 0\end{array}$

Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: ${x_1} = 1\left( {tm} \right);{x_2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{9}\left( {tm} \right)$

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: ${x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{1}{9}.$

c) $\dfrac{{{t^2}}}{{t - 1}} + t = \dfrac{{2{t^2} + 5t}}{{t + 1}}$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}t - 1 \ne 0\\t + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ne 1\\t \ne  - 1\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\dfrac{{{t^2}}}{{t - 1}} + t = \dfrac{{2{t^2} + 5t}}{{t + 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2}\left( {t + 1} \right)}}{{\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}} + \dfrac{{t\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}{{\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}} = \dfrac{{\left( {2{t^2} + 5t} \right).\left( {t - 1} \right)}}{{\left( {t + 1} \right)\left( {t - 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow {t^2}\left( {t + 1} \right) + t\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) - \left( {2{t^2} + 5t} \right).\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} + t\left( {{t^2} - 1} \right) - \left( {2{t^3} - 2{t^2} + 5{t^2} - 5t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} + {t^3} - t - 2{t^3} - 3{t^2} + 5t = 0\\ \Leftrightarrow  - 2{t^2} + 4t = 0\\ \Leftrightarrow t\left( { - 2t + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\ - 2t + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\left( {tm} \right)\\t = 2\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: ${t_1} = 0;{t_2} = 2.$

d) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 3\\x \ne 3\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\dfrac{{x - 2}}{{x + 3}} + 1 = \dfrac{{3x - 1}}{{x - 3}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \dfrac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) = \left( {3x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 + {x^2} - 9 - \left( {3{x^2} + 8x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 + {x^2} - 9 - 3{x^2} - 8x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 13x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 13} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {tm} \right)\\x =  - 13\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm là ${x_1} = 0;{x_2} =  - 13.$