Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính BC với AB < AC. Vẽ đường tròn tâm I, đường kính AO, cắt AB, AC lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh H, I, K thẳng hàng.
b) Tia OH và OK lần lượt cắt các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O tại D và E. Chứng minh rằng BD + CE = DE và BD.CE = R2.
c) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của OD và OE. Chứng minh tứ giác APOQ nội tiếp.
d) Biết BD = 4 cm, EC = 6 cm. Hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DOE.
a) Chứng minh AHOK là hình chữ nhật suy ra I là trung điểm của HK.
b) Chứng minh A, D, E thẳng hàng, sử dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông.
c) Chứng minh \(\widehat {PAQ} = {90^0}\), suy ra tứ giác APOQ có tổng hai góc đối bằng 1800.
d) Gọi O’ là trung điểm của DE. Vì \(\Delta ODE\) vuông tại O nên O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DOE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DOE bằng \(\dfrac{{DE}}{2}\).
a) Ta có \(\widehat {AHO} = \widehat {AKO} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét tứ giác AHOK có: \(\widehat {HAK} = \widehat {AHO} = \widehat {AKO} = {90^0} \Rightarrow \) Tứ giác AHOK là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).
\( \Rightarrow \) Hai đường chéo AO và HK cắt nhau tại trung điểm đường. Mà I là trung điểm của AO (gt) \( \Rightarrow I\) cũng là trung điểm của HK. Vậy H, I, K thẳng hàng.
b) +) Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\widehat {DAB} = \widehat {AOH}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AH).
\(\widehat {EAC} = \widehat {AOK}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AK).
\( \Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {HAK} + \widehat {EAC} = \widehat {AOH} + \widehat {HAK} + \widehat {AOK} = \widehat {HAK} + \widehat {HOK} = {180^0}\) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp) \( \Rightarrow D;A;E\) thẳng hàng.
Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có \(BD = AD;\,\,CE = AE\)
\( \Rightarrow BD + CE = AD + AE\). Mà D; A; E thẳng hàng (cmt) \( \Rightarrow AD + AE = DE\). Vậy \(BD + CE = DE\).
+) Ta có: \(BD.CE = AD.AE\).
Ta có: \(\widehat {DAO} = \widehat {AKO}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AO).
Mà \(\widehat {AKO} = {90^0}\) (AHOK là hình chữ nhật) \( \Rightarrow \widehat {DAO} = {90^0} \Rightarrow AO \bot DE\) tại A.
\(\widehat {HOK} = {90^0}\) (AHOK là hình chữ nhật) \( \Rightarrow \Delta DOE\) vuông tại O.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DOE có : \(AD.AE = A{O^2} = {R^2}\).
Vậy BD.CE = R2.
c) Xét tam giác vuông OAD có AP là trung tuyến ứng với cạnh huyền OD \( \Rightarrow PA = PO = PD \Rightarrow \Delta PAO\) cân tại P \( \Rightarrow \widehat {POA} = \widehat {PAO}\).
Chứng minh tương tự ta có : \(\widehat {QOA} = \widehat {QAO}\).
\( \Rightarrow \widehat {PAQ} = \widehat {PAO} + \widehat {QAO} = \widehat {POA} + \widehat {QOA} = \widehat {POQ} = {90^0}\).
Xét tứ giác APOQ có: \(\widehat {POQ} + \widehat {PAQ} = {90^0} + 90 = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác APOQ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
d) Gọi O’ là trung điểm của DE. Vì \(\Delta ODE\) vuông tại O nên O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DOE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DOE bằng \(\dfrac{{DE}}{2}\).
Mà \(DE = BD + CE = 4 + 6 = 10\,\,\left( {cm} \right) \Rightarrow R = \dfrac{{DE}}{2} = 5\,\,\left( {cm} \right)\).