Advertisements (Quảng cáo)
Cho phương trình \({x^2} – 2(m + 1)x + m – 4 = 0\) (1) với x là ẩn số.
a) Giải phương trình (1) khi m = -5.
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
c) Tìm GTNN của biểu thức \(M = \left| {{x_1} – {x_2}} \right|\).
a) Thay \(m = – 5\) và giải phương trình.
b) Chứng minh \(\Delta ‘ > 0\,\,\forall m\).
c) \(M = \left| {{x_1} – {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)}^2}} \)\(\,= \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 4{x_1}{x_2}} \). Sử dụng định lí Vi-ét.
a) Thay \(m = – 5\) vào phương trình ta có \({x^2} + 8x – 9 = 0\).
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có \(1 + 8 – 9 = 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = – 9\end{array} \right.\).
b) Ta có \(\Delta ‘ = {\left( {m + 1} \right)^2} – 1\left( {m – 4} \right)\)\(\, = {m^2} + 2m + 1 – m + 4\)\(\, = {m^2} + m + 5\)
Ta có \({m^2} + m + 5 \)\(\,= {m^2} + 2.m.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4} \)\(\,= {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4} > 0 \Rightarrow \Delta ‘ > 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) với mọi giá trị của m.
c) Ta có \(M = \left| {{x_1} – {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)}^2}} \)\(\, = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 4{x_1}{x_2}} \)
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = m – 4\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow M = \sqrt {4{{\left( {m + 1} \right)}^2} – 4\left( {m – 4} \right)} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {4{m^2} + 8m + 4 – 4m + 16} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {4{m^2} + 4m + 20} \\ \Rightarrow M = \sqrt {4{m^2} + 4m + 1 + 19} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {{{\left( {2m + 1} \right)}^2} + 19} \end{array}\)
Ta có \({\left( {2m + 1} \right)^2} \ge 0 \) \(\Rightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} + 19 \ge 19 \Rightarrow M \ge \sqrt {19} \).
Vậy GTNN của M bằng \(\sqrt {19} \).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = – \dfrac{1}{2}\).
Baitapsgk.com