Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, đường kính AD. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
a) Chứng minh tam giác BAH đồng dạng với tam giác DAC.
b) Gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Chứng minh AI là tia phân giác của góc HAD.
c) Tia AH cắt đường tròn O tại K. Chứng minh rằng B, C, D, K là bốn đỉnh của một hình thang cân.
a) Chứng minh tam giác BAH đồng dạng với tam giác DAC theo trường hợp g-g.
b) +) Chứng minh OI⊥BC⇒AH//IO.
+) Chứng minh ^HAI và ^OAI cùng bằng ^OIA.
c) +) Chứng minh BC và DK cùng vuông góc với AK ⇒BC//DK.
+) Chứng minh , từ đó suy ra ^BCD=^KBC.
a) Ta có: ^ACD=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét ΔBAH và ΔDAC có:
^AHB=^ACD=900;
Advertisements (Quảng cáo)
^ABH=^ADC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
⇒ΔBAH∼ΔDAC(g.g)
b) Vì I là điểm chính giữa cung BC (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).
⇒I thuộc trung trực của BC.
Lại có OB=OC=R⇒O thuộc trung trực của BC.
⇒IO là trung trực của BC ⇒IO⊥BC.
Mà AH⊥BC(gt)⇒AH//IO.
⇒^HAI=^AIO(1) (hai góc so le trong bằng nhau).
Xét tam giác OAI có OA=OI=R⇒ΔOAI cân tại O ⇒^OAI=^AIO(hai góc ở đáy) (2).
Từ (1) và (2) ⇒^HAI=^OAI⇒AI là phân giác của ^HAD.
c) Ta có ^AKD=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒AK⊥KD.
Mà AK⊥BC⇒KD//BC⇒BCDK là hình thang.
Do KD//BC⇒cungBK=cungCD (hai cung nằm giữa hai dây song song thì bằng nhau).
⇒cungBK+cungKD=cungCD+cungKD⇒cungBD=cungCK
⇒^BCD=^KBC(trong một đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).
Vậy BCDK là hình thang cân (Hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau).